流体力学/不可压缩与可压缩流

基本概念

在连续介质假设下，流体的“可压缩性”描述的是密度 $\rho$ 随压力 $p$ 和温度 $T$ 变化的能力。

不可压缩流体（incompressible fluid）

理想化概念，假定流体密度为常数，与压力、温度和速度场无关；常用于液体以及低速气流的近似处理中。数学上常写作

$\rho ={\text{const.}}$

可压缩流体（compressible fluid）

密度随压力、温度显著变化，必须通过状态方程（如理想气体状态方程）来描述：

$p=\rho RT$

典型情形是在高速气动、气体动力学和内燃机、喷嘴流动等问题中。

实际上，所有真实流体在严格意义上都是可压缩的，只是在某些条件下密度变化很小，可以近似视为不可压缩。

马赫数与可压缩性判据

可压缩性在气体流动中通常用马赫数（Mach number）来定性判断： $\mathrm {Ma} ={\frac {U}{c}}$ 其中 $U$ 为特征流速，$c$ 为当地声速。对理想气体，声速 $c={\sqrt {\gamma RT}}$ 其中 $\gamma$ 为比热比，$R$ 为气体常数，$T$ 为绝对温度。

一般工程经验判据为：

• $\mathrm {Ma} <0.3$：密度变化可忽略不计，通常可采用不可压缩流近似（例如通风管道、低速风洞）。
• $0.3\lesssim \mathrm {Ma} \lesssim 0.8$：弱可压缩流，密度有一定变化，需要根据精度要求判断是否采用可压缩方程。
• $\mathrm {Ma} \gtrsim 0.8$：可压缩效应显著，必须使用可压缩流方程（跨声速、超声速飞行器外流、喷嘴等）。

对液体，体积模量很大，在通常压力变化范围内密度变化极小，因此即使速度不低，也往往采用不可压缩近似。

连续性方程中的差别

一般三维非定常连续性方程为 ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$， 其中 $\mathbf {u} =(u,v,w)$ 为速度矢量。

可压缩流

密度 $\rho =\rho (\mathbf {x} ,t)$ 为变量，必须连同动量方程和能量方程一起求解。连续性方程保持上述一般形式。

不可压缩流

若假定 $\rho$ 为常数，可从上式得到 $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$， 即速度场满足散度为零的条件，这也是不可压缩流的数学特征之一。此时连续性方程不再显式包含密度。

需要注意：有时“不可压缩流”一词在文献中既指“$\rho$ 常数的物理假设”，也指“$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$ 的数学约束”，二者在推导上相关但物理含义略有差别。

动量与能量方程

可压缩流的控制方程

对牛顿流体，一般采用可压缩 Navier–Stokes 方程，并配合能量方程和状态方程。以保守形式写作（略去黏性与源项的详细展开）：

• 质量守恒：

 ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

• 动量守恒：

 ${\frac {\partial (\rho \mathbf {u} )}{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \mathbf {u} +p\mathbf {I} -{\boldsymbol {\tau }})=\rho \mathbf {f}$

• 能量守恒：

 ${\frac {\partial (\rho E)}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[(\rho E+p)\mathbf {u} -\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\tau }}-\mathbf {q} \right]=\rho {\dot {q}}$

状态方程（例如理想气体） $p=(\gamma -1)\rho e$ 将热力学与流动方程耦合在一起。

不可压缩流的控制方程

对密度恒定且体积力为重力的不可压缩牛顿流体，控制方程可简化为：

• 连续性：

 $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

• 动量（不可压缩 Navier–Stokes 方程）：

 $\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho \mathbf {g}$

其中黏度写成 $\mu$，重力加速度为 $\mathbf {g}$，这样符号就和常见教材保持一致。

如果进一步忽略黏性（高雷诺数外流），可得到不可压缩的欧拉方程；在稳态、不可压缩、无黏、沿流线条件下，又可以推导出著名的伯努利方程。

能量方程与可压缩效应

不可压缩流中，若黏性耗散不显著、密度不变，机械能与内能之间的耦合通常较弱，很多工程问题中可不显式求解能量方程，或只作为温度场的辅方程。

在可压缩高速流中，速度、密度和温度相互耦合，特别是当存在强压缩/膨胀、激波和喷射等现象时，必须与能量方程联立求解，否则无法正确描述温度和压力场的变化。

等温与等熵近似

在某些可压缩流问题中，为简化分析常采用等温或等熵近似：

等温流（isothermal flow）

假定温度保持常数 $T={\text{const.}}$。对理想气体有

$p\propto \rho$

适用于热交换强烈、能量方程可以由边界条件控制的情况。

等熵流（isentropic flow）

假定过程绝热且可逆，熵 $s$ 不变。对理想气体有

$p\rho ^{-\gamma }={\text{const.}}$

${\frac {T_{0}}{T}}=1+{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {Ma} ^{2}$

等熵近似在喷嘴扩张、机翼超声速外流等区域（远离激波与强黏性区域）非常常见。

典型应用场景

不可压缩流的典型应用

• 液体输运：给水管网、油管、液压系统；
• 低速空气流动：空调通风、建筑风环境、低速风洞流场；
• 多数水利工程问题：明渠、水库泄洪、河道水流等。

这些情形下，流速通常远低于声速（$\mathrm {Ma} \ll 0.3$），压力波传播极快，密度相对变化极小，因此不可压缩假设十分有效。

可压缩流的典型应用

• 航空航天：跨声速/超声速飞行器外流、喷气发动机、火箭喷管（$\mathrm {Ma} \geq 1$）；
• 内燃机与燃气轮机：缸内压缩、燃烧与膨胀过程；
• 高速喷射与超音速风洞；
• 激波管、爆轰波传播、冲击波物理。

在这些问题中，压力变化大、可压缩效应导致显著的密度和温度变化，需要采用完整的可压缩流体动力学方程组。

工程上的一些经验

• 对空气，当流速低于约 $100\ {\text{m/s}}$ 时，常可视为不可压缩流（对应 $\mathrm {Ma} \approx 0.3$）。
• 在 CFD 计算中，可压缩求解器代价较高，因此若可压缩效应很弱，应优先采用不可压缩模型以降低计算资源消耗。
• 判定是否需要考虑可压缩性时，可综合考虑：马赫数、压力相对变化量 $\Delta p/p$、温度变化和目标物理量对密度的敏感性。

参见

• 流体力学/控制方程
• 流体力学/无量纲参数与相似理论
• 流体力学/边界层理论
• 流体力学/可压缩流动基础