流体力学/坐标系与张量记号速览

坐标系概览与场量类型

本节快速梳理流体力学中常用的坐标系与场量类型（标量、向量、张量），并给出基本算子在不同坐标系下的表达，便于后续推导与应用。

标量场示例：压力场 $p (𝐱, t)$ 、温度场 $T (𝐱, t)$ 。
向量场示例：速度场 $𝐮 = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ 。
二阶张量示例：应力张量 $𝝈 = [σ_{i j}]$ 、速率应变张量 $𝐒 = [S_{i j}]$ 。

常用坐标系：

直角坐标系（笛卡尔）： $(x, y, z)$ ，基向量 $𝐞_{x}, 𝐞_{y}, 𝐞_{z}$ 。
圆柱坐标系： $(r, θ, z)$ ，基向量 $𝐞_{r}, 𝐞_{θ}, 𝐞_{z}$ 。
球坐标系： $(r, θ, ϕ)$ （径向、极角、方位角），基向量 $𝐞_{r}, 𝐞_{θ}, 𝐞_{ϕ}$ 。

基本算子（概念）：

梯度： $\nabla f$
散度： $\nabla \cdot 𝐚$
旋度： $\nabla \times 𝐚$
拉普拉斯算子： $\nabla^{2} f = \nabla \cdot (\nabla f)$

直角坐标系的分量表达：

梯度： $\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$
散度： $\nabla \cdot 𝐚 = \frac{\partial a_{x}}{\partial x} + \frac{\partial a_{y}}{\partial y} + \frac{\partial a_{z}}{\partial z}$
旋度： $\nabla \times 𝐚 = (\frac{\partial a_{z}}{\partial y} - \frac{\partial a_{y}}{\partial z}, \frac{\partial a_{x}}{\partial z} - \frac{\partial a_{z}}{\partial x}, \frac{\partial a_{y}}{\partial x} - \frac{\partial a_{x}}{\partial y})$
拉普拉斯： $\nabla^{2} f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}$

圆柱坐标系的分量表达：

梯度： $\nabla f = 𝐞_{r} \frac{\partial f}{\partial r} + 𝐞_{θ} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} + 𝐞_{z} \frac{\partial f}{\partial z}$
散度： $\nabla \cdot 𝐚 = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r a_{r}) + \frac{1}{r} \frac{\partial a_{θ}}{\partial θ} + \frac{\partial a_{z}}{\partial z}$
拉普拉斯（标量）： $\nabla^{2} f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}$

球坐标系的分量表达：

梯度： $\nabla f = 𝐞_{r} \frac{\partial f}{\partial r} + 𝐞_{θ} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} + 𝐞_{ϕ} \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial f}{\partial ϕ}$
散度： $\nabla \cdot 𝐚 = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} a_{r}) + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ a_{θ}) + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial a_{ϕ}}{\partial ϕ}$
拉普拉斯（标量）： $\nabla^{2} f = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial f}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} f}{\partial ϕ^{2}}$

张量记号与索引约定

为统一表达并简化推导，本节提供常用张量与索引记号。

爱因斯坦求和约定：重复下标自动求和，如 $a_{i} b_{i} = \sum_{i = 1}^{3} a_{i} b_{i}$ 。
克罗内克 δ： $δ_{i j}$ ，当 $i = j$ 为 $1$ ，否则为 $0$ 。
Levi–Civita符号： $ε_{i j k}$ ，用于表达叉乘与旋度。
速度梯度张量：分量 $\partial u_{i} / \partial x_{j}$ 。
对称/反对称分解： $\nabla 𝐮 = 𝐒 + 𝜴$ ，其中

  $S_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})$ ，
  $Ω_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} - \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})$ 。

坐标变换与方程不变性

坐标变换关系与方程的几何不变性是建立通用推导的关键。

直角到圆柱： $x = r \cos θ, y = r \sin θ, z = z$ ；速度分量从 $(u_{x}, u_{y}, u_{z})$ 到 $(u_{r}, u_{θ}, u_{z})$ 。
直角到球： $x = r \sin θ \cos ϕ, y = r \sin θ \sin ϕ, z = r \cos θ$ ；速度分量从 $(u_{x}, u_{y}, u_{z})$ 到 $(u_{r}, u_{θ}, u_{ϕ})$ 。
方程不变性：纳维–斯托克斯的物理意义与坐标选择无关，分量表达随度量与基向量调整。不可压形式

  $ρ (\frac{\partial 𝐮}{\partial t} + 𝐮 \cdot \nabla 𝐮) = - \nabla p + μ \nabla^{2} 𝐮 + ρ 𝐟$ 
 可在任意正交坐标中展开。

小结：先以笛卡尔坐标熟悉算子与张量记号，再根据问题几何选择圆柱或球坐标；用索引约定统一推导路径，提升表达与计算的一致性。