流体力学/能量守恒与热力学相容性

连续介质与运动学 - 质量守恒与输运 - 动量方程与纳维-斯托克斯 - 本构模型与热力学

能量守恒的概念和特征

在连续介质框架下，能量守恒表述为：一物质体内总能量的变化率，等于外力所作的功率与外加热量之和。设流体密度为$\rho$，速度为$𝐮$，比内能为$e$，压强为$p$，柯西应力为$𝝈$，热流为$𝐪$，体热源为$r$，则比总能为$E=e+\frac{1}{2}|𝐮{|}^2$。
能量守恒的主要特征包括：

• 局部总能量方程（Cauchy 形式）：
• $\frac{\partial }{\partial t}(\rho E)+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho E𝐮)=\mathrm{\nabla }\cdot (𝝈𝐮)-\mathrm{\nabla }\cdot 𝐪+\rho 𝐛\cdot 𝐮+\rho r$，其中$𝐛$为单位质量体力。
• 借助动量方程可将机械功分解为压强功与黏性耗散：
• $𝝈=-p𝐈+𝝉,\mathrm{\nabla }\cdot (𝝈𝐮)=-\mathrm{\nabla }\cdot (p𝐮)+𝝉:\mathrm{\nabla }𝐮+p\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮$。
• 内能形式：
• $\rho \frac{De}{Dt}=-p\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮+𝝉:\mathrm{\nabla }𝐮-\mathrm{\nabla }\cdot 𝐪+\rho r$。
• 焓形式（$h=e+p/\rho$）：
• $\rho \frac{Dh}{Dt}=\frac{Dp}{Dt}+𝝉:\mathrm{\nabla }𝐮-\mathrm{\nabla }\cdot 𝐪+\rho r$。

热力学相容性（第一、第二定律）

能量方程必须与热力学第一、第二定律相容。设比熵为$s$，绝对温度为$T$。对简单可压缩流体，有：

• Gibbs 关系：
• $Tds=de+pd\left(\frac{1}{\rho }\right)-\sum _k{\mu }_{k}d{Y}_k$，单组分时可略去化学项。
• Clausius–Duhem 不等式（第二定律的局部形式）：
• $\rho \frac{Ds}{Dt}+\mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{𝐪}{T}\right)\ge \rho \frac{r}{T}$。

将内能方程与 Gibbs 关系联立，可得熵平衡：

• $\rho \frac{Ds}{Dt}=\frac{1}{T}𝝉:\mathrm{\nabla }𝐮-\frac{1}{T^2}𝐪\cdot \mathrm{\nabla }T+\text{(化学生成项)}+\rho \frac{r}{T}-\mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{𝐪}{T}\right)$。

若采用傅里叶导热$𝐪=-k\mathrm{\nabla }T$（$k\ge 0$）与牛顿型黏性应力$𝝉=2\mu 𝐃+\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)𝐈$，其中$𝐃=\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }𝐮+\mathrm{\nabla }{𝐮}^{𝖳})$，则熵产生率

• ${\sigma }_s=\frac{1}{T}𝝉:\mathrm{\nabla }𝐮-\frac{1}{T^2}𝐪\cdot \mathrm{\nabla }T=\frac{2\mu }{T}𝐃:𝐃+\frac{\lambda }{T}(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮{)}^2+\frac{k}{T^2}|\mathrm{\nabla }T{|}^2\ge 0$，

从而保证与第二定律相容。

特例与一致性检验

• 不可压、常物性（$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0$，$\rho ,\mu ,k$常数）：
• $\rho c_p\frac{DT}{Dt}=k{\mathrm{\nabla }}^{2}T+\mathrm{\Phi }+\rho r,\mathrm{\Phi }\equiv 𝝉:\mathrm{\nabla }𝐮\ge 0$。
• 等熵、无黏、绝热（$𝝉=\mathrm{𝟎}$，$𝐪=\mathrm{𝟎}$，$r=0$，$Ds/Dt=0$）：回复机械能守恒。
• 稳态、无黏、绝热、位能变化可忽略，沿流线：
• $\frac{|𝐮{|}^2}{2}+\int \frac{dp}{\rho }=\text{常数}$，对定熵或柱状流体可化为经典伯努利式。

机械能与热能的分解

将总能量方程按动量方程分解为动能方程与内能方程：

• 动能方程：
• $\frac{\partial }{\partial t}(\frac{1}{2}\rho |𝐮{|}^2)+\mathrm{\nabla }\cdot (\frac{1}{2}\rho |𝐮{|}^2𝐮)=-𝐮\cdot \mathrm{\nabla }p+𝐮\cdot (\mathrm{\nabla }\cdot 𝝉)-\mathrm{\nabla }\cdot (p𝐮)+\rho 𝐛\cdot 𝐮$。
• 内能方程（重复列示）：
• $\rho \frac{De}{Dt}=-p\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮+\mathrm{\Phi }-\mathrm{\nabla }\cdot 𝐪+\rho r,\mathrm{\Phi }=𝝉:\mathrm{\nabla }𝐮\ge 0$。

黏性耗散$\mathrm{\Phi }$将机械能不可逆地转化为内能，这与熵产生为正相一致。

状态方程与热力学封闭

能量方程需要热力学关系闭合：

• 定比热完全气体：
• $p=\rho RT,e=c_{v}T,h=c_{p}T,c_p-c_v=R$。
• 热完全气体：
• $e=e(T),h=h(T),c_p(T)-c_v(T)=R$。
• 一般可压流体：
• $de=Tds-pd\left(\frac{1}{\rho }\right),h=e+\frac{p}{\rho }$。

配合傅里叶导热、菲克扩散等输运定律，可保证熵产生非负。

与纳维–斯托克斯及输运方程的相容性

能量需与质量、动量、组分输运耦合：

• 质量方程：$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐮)=0$。
• 动量方程：$\rho \frac{D𝐮}{Dt}=\mathrm{\nabla }\cdot 𝝈+\rho 𝐛=-\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\cdot 𝝉+\rho 𝐛$。
• 组分方程（多组分时）：$\frac{\partial (\rho Y_k)}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho Y_k𝐮+{𝐉}_k)={\dot{\omega }}_k$。

需采用与 Onsager 原理一致的本构关系，使总熵产生保持非负。

示例：黏性加热的平面库埃特流

考虑两平板间稳态库埃特流，板距$H$，上下板速度分别为$0$与$U$，无压强梯度、不可压、常$\mu ,k$。可取绝热或等温边界。

• 速度：$u_x(y)=Uy/H$，$u_y=0$。
• 耗散：$\mathrm{\Phi }=2\mu D_{xy}^2=\mu {\left(\frac{d{u}_x}{dy}\right)}^2=\mu (U/H{)}^2$。
• 能量方程化为：$0=k\frac{d^{2}T}{d{y}^2}+\mu (U/H{)}^2$。
• 等温壁$T(0)=T(H)=T_w$时：$T(y)=T_w+\frac{\mu U^2}{2k}\left(\frac{y}{H}\right)(1-\frac{y}{H})$。

这表明黏性耗散将机械能转化为热，中心温度上升，符合第二定律。

学习提示

• 建议先通读质量与动量方程，再回到能量守恒的分解形式。
• 处理可压缩流时，优先选用焓形式，并结合状态方程与声速关系。
• 数值计算中应检查熵产生是否为正，以验证离散本构的一致性。