连续介质与运动学 - 质量守恒与输运 - 动量方程与纳维-斯托克斯 - 本构模型与热力学

能量守恒的概念和特征

在连续介质框架下，能量守恒表述为：一物质体内总能量的变化率，等于外力所作的功率与外加热量之和。设流体密度为 $\rho$ ，速度为 $\mathbf {u}$ ，比内能为 $e$ ，压强为 $p$ ，柯西应力为 ${\boldsymbol {\sigma }}$ ，热流为 $\mathbf {q}$ ，体热源为 $r$ ，则比总能为 $E=e+{\tfrac {1}{2}}|\mathbf {u} |^{2}$ 。
能量守恒的主要特征包括：

局部总能量方程（Cauchy 形式）：
$\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho E)+\nabla \!\cdot (\rho E\,\mathbf {u} )=\nabla \!\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {u} )-\nabla \!\cdot \mathbf {q} +\rho \,\mathbf {b} \!\cdot \!\mathbf {u} +\rho r$ ，其中 $\mathbf {b}$ 为单位质量体力。
借助动量方程可将机械功分解为压强功与黏性耗散：
$\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +{\boldsymbol {\tau }},\quad \nabla \!\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {u} )=-\nabla \!\cdot (p\mathbf {u} )+{\boldsymbol {\tau }}:\nabla \mathbf {u} +p\,\nabla \!\cdot \mathbf {u}$ 。
内能形式：
$\displaystyle \rho {\frac {De}{Dt}}=-\,p\,\nabla \!\cdot \mathbf {u} +{\boldsymbol {\tau }}:\nabla \mathbf {u} -\nabla \!\cdot \mathbf {q} +\rho r$ 。
焓形式（ $h=e+p/\rho$ ）：
$\displaystyle \rho {\frac {Dh}{Dt}}={\frac {Dp}{Dt}}+{\boldsymbol {\tau }}:\nabla \mathbf {u} -\nabla \!\cdot \mathbf {q} +\rho r$ 。

热力学相容性（第一、第二定律）

能量方程必须与热力学第一、第二定律相容。设比熵为 $s$ ，绝对温度为 $T$ 。对简单可压缩流体，有：

Gibbs 关系：
$\displaystyle T\,ds=de+p\,d\!\left({\frac {1}{\rho }}\right)-\sum _{k}\mu _{k}\,dY_{k}$ ，单组分时可略去化学项。
Clausius–Duhem 不等式（第二定律的局部形式）：
$\displaystyle \rho {\frac {Ds}{Dt}}+\nabla \!\cdot \!\left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)\geq \rho {\frac {r}{T}}$ 。

将内能方程与 Gibbs 关系联立，可得熵平衡：

$\displaystyle \rho {\frac {Ds}{Dt}}={\frac {1}{T}}\,{\boldsymbol {\tau }}:\nabla \mathbf {u} -{\frac {1}{T^{2}}}\,\mathbf {q} \!\cdot \!\nabla T+{\text{(化学生成项)}}+\rho {\frac {r}{T}}-\nabla \!\cdot \!\left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)$ 。

若采用傅里叶导热 $\mathbf {q} =-k\nabla T$ （ $k\geq 0$ ）与牛顿型黏性应力 ${\boldsymbol {\tau }}=2\mu \mathbf {D} +\lambda (\nabla \!\cdot \mathbf {u} )\mathbf {I}$ ，其中 $\mathbf {D} ={\tfrac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathsf {T}})$ ，则熵产生率

$\displaystyle \sigma _{s}={\frac {1}{T}}\,{\boldsymbol {\tau }}:\nabla \mathbf {u} -{\frac {1}{T^{2}}}\,\mathbf {q} \!\cdot \!\nabla T={\frac {2\mu }{T}}\,\mathbf {D} :\mathbf {D} +{\frac {\lambda }{T}}(\nabla \!\cdot \mathbf {u} )^{2}+{\frac {k}{T^{2}}}|\nabla T|^{2}\geq 0$ ，

从而保证与第二定律相容。

特例与一致性检验

不可压、常物性（ $\nabla \!\cdot \mathbf {u} =0$ ， $\rho ,\mu ,k$ 常数）：
$\displaystyle \rho c_{p}{\frac {DT}{Dt}}=k\nabla ^{2}T+\Phi +\rho r,\quad \Phi \equiv {\boldsymbol {\tau }}:\nabla \mathbf {u} \geq 0$ 。
等熵、无黏、绝热（ ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {0}$ ， $\mathbf {q} =\mathbf {0}$ ， $r=0$ ， $Ds/Dt=0$ ）：回复机械能守恒。
稳态、无黏、绝热、位能变化可忽略，沿流线：
$\displaystyle {\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{2}}+\int {\frac {dp}{\rho }}={\text{常数}}$ ，对定熵或柱状流体可化为经典伯努利式。

机械能与热能的分解

将总能量方程按动量方程分解为动能方程与内能方程：

动能方程：
$\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\!\left({\tfrac {1}{2}}\rho |\mathbf {u} |^{2}\right)+\nabla \!\cdot \!\left({\tfrac {1}{2}}\rho |\mathbf {u} |^{2}\mathbf {u} \right)=-\,\mathbf {u} \!\cdot \!\nabla p+\mathbf {u} \!\cdot (\nabla \!\cdot {\boldsymbol {\tau }})-\nabla \!\cdot (p\mathbf {u} )+\rho \mathbf {b} \!\cdot \!\mathbf {u}$ 。
内能方程（重复列示）：
$\displaystyle \rho {\frac {De}{Dt}}=-\,p\,\nabla \!\cdot \mathbf {u} +\Phi -\nabla \!\cdot \mathbf {q} +\rho r,\quad \Phi ={\boldsymbol {\tau }}:\nabla \mathbf {u} \geq 0$ 。

黏性耗散 $\Phi$ 将机械能不可逆地转化为内能，这与熵产生为正相一致。

状态方程与热力学封闭

能量方程需要热力学关系闭合：

定比热完全气体：
$\displaystyle p=\rho RT,\quad e=c_{v}T,\quad h=c_{p}T,\quad c_{p}-c_{v}=R$ 。
热完全气体：
$\displaystyle e=e(T),\ h=h(T),\ c_{p}(T){-}c_{v}(T)=R$ 。
一般可压流体：
$\displaystyle de=Tds-p\,d\!\left({\frac {1}{\rho }}\right),\quad h=e+{\frac {p}{\rho }}$ 。

配合傅里叶导热、菲克扩散等输运定律，可保证熵产生非负。

与纳维–斯托克斯及输运方程的相容性

能量需与质量、动量、组分输运耦合：

质量方程： $\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \!\cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ 。
动量方程： $\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\nabla \!\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\rho \mathbf {b} =-\nabla p+\nabla \!\cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b}$ 。
组分方程（多组分时）： $\displaystyle {\frac {\partial (\rho Y_{k})}{\partial t}}+\nabla \!\cdot (\rho Y_{k}\mathbf {u} +\mathbf {J} _{k})={\dot {\omega }}_{k}$ 。

需采用与 Onsager 原理一致的本构关系，使总熵产生保持非负。

示例：黏性加热的平面库埃特流

考虑两平板间稳态库埃特流，板距 $H$ ，上下板速度分别为 $0$ 与 $U$ ，无压强梯度、不可压、常 $\mu ,k$ 。可取绝热或等温边界。

速度： $u_{x}(y)=U\,y/H$ ， $u_{y}=0$ 。
耗散： $\Phi =2\mu D_{xy}^{2}=\mu \left({\frac {du_{x}}{dy}}\right)^{2}=\mu (U/H)^{2}$ 。
能量方程化为： $\displaystyle 0=k{\frac {d^{2}T}{dy^{2}}}+\mu (U/H)^{2}$ 。
等温壁 $T(0)=T(H)=T_{w}$ 时： $\displaystyle T(y)=T_{w}+{\frac {\mu U^{2}}{2k}}\left({\frac {y}{H}}\right)\!\left(1-{\frac {y}{H}}\right)$ 。

这表明黏性耗散将机械能转化为热，中心温度上升，符合第二定律。

学习提示

建议先通读质量与动量方程，再回到能量守恒的分解形式。
处理可压缩流时，优先选用焓形式，并结合状态方程与声速关系。
数值计算中应检查熵产生是否为正，以验证离散本构的一致性。