相对论的速度变换公式

相对论的速度变换公式，可分为正转换与反转换。若O系是我们观察某物体所用的惯性参考系，O'系是对方观察同一物体时所使用的惯性参考系，假定O系与O'系之间仅有x方向的相对运动，那么正转换的相对论速度变换公式可写成：

$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

其中：

$u'_{x}$ 是我们想知道的值。(对方在他的惯性系内看到此物的x方向的速度是多少?)

$u_{x}$是我们在自己的惯性系内，看到此物的x方向的速度。

$v$是我们在自己的惯性系内，看到对方惯性系相对于我们惯性系的x方向的速度。

$c$是与光速相等的物理常数。

因为已经假定O系与O'系之间仅有x方向的相对运动，因此y方向与z方向的相对论速度变换公式，则分别为：

$u'_{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

$u'_{z}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

反转换的相对论速度变换公式，可直接由正转换公式经过移项推导而得出。 反转换式，想表达的则是：如果我们在O系暂时看不到我们想观测的物体时，而对方O'系已经观测到此物体，并且通话来告诉我们他们观测到的速度是多少。那么我们就可借此推测欲观测物体相对于我们的惯性系的速度是多少。这时所用的公式就是反转换的相对论速度变换公式。x方向的反转换相对论速度变换公式可写成：

$u_{x}={\frac {u'_{x}+v}{1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}}}$

其中：

$u_{x}$ 是我们想知道的值。(我们如果看的到此物，则此物在我们坐标系的x方向的速度是多少?)

$u'_{x}$是对方在他们的惯性系内，看到此物的x方向的速度。(是由对方打电话告知我们的。)

$v$是我们在自己的惯性系内，看到对方惯性系相对于我们惯性系的x方向的速度。

$c$是与光速相等的物理常数。

因为已经假定O系与O'系之间仅有x方向的相对运动，因此y方向与z方向的反转换相对论速度变换公式，则分别为：

$u_{y}={\frac {u'_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}}}$

$u_{z}={\frac {u'_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}}}$

另外，观察反转换公式的形式恰好是将正转换中的v变成-v，u_x、u_y、u_z分别与u'_x、u'_y、u'_z互换所得到的形式。

推导相对论速度变换公式

正转换的相对论速度变换公式，可由正转换劳仑兹变换的数学形式推得。 假定O系与O'系仅有x方向的相对运动，则正转换劳仑兹变换的数学形式如下：

$x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$______(1)

$y'=y$_____(2)

$z'=z$_____(3)

$t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$_____(4)

以下先推导x方向分量的正转换的相对论速度变换公式：

将(1)(4)两式同时取其微量得：

$dx'={\frac {dx-vdt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

$dt'={\frac {dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

则:$u'_{x}={\frac {dx'}{dt'}}$ 即可由上两式相除写成：

${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {\frac {dx-vdt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

或

${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx-vdt}{dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx}}$

将上式的分子分母同时除以$dt$得：

${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {{\frac {dx}{dt}}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx}{dt}}}}$

其中${\frac {dx}{dt}}$以$u_{x}$代入，而${\frac {dx'}{dt'}}$以$u'_{x}$代入即可获得x方向分量的正转换的相对论速度变换公式：

$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

另外，y方向分量的正转换相对论速度变换公式，也可由同样的步骤推得，推导如下： 将(2)(4)两式同时取其微量得：

$dy'=dy$

$dt'={\frac {dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

则:$u'_{y}={\frac {dy'}{dt'}}$即可由上两式相除写成：

${\frac {dy'}{dt'}}={\frac {dy}{\frac {dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

或

${\frac {dy'}{dt'}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dy}{dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx}}$

将上式的分子分母同时除以$dt$得：

${\frac {dy'}{dt'}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {dy}{dt}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx}{dt}}}}$

其中${\frac {dy}{dt}}$以$u_{y}$代入，而${\frac {dx}{dt}}$以$u_{x}$代入，${\frac {dy'}{dt'}}$以$u'_{y}$代入，即可获得y方向分量正转换的相对论速度变换公式：

$u'_{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

同样的方法，也可推得z方向分量正转换的相对论速度变换公式：

$u'_{z}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

同样的，反转换的相对论速度变换公式，也可由反转换的劳仑兹变换的数学形式以相同步骤推得。 然而，由于反转换的相对论速度变换公式，其实是已知对方的惯性系O'相对于我们的惯性系O的速度v，且已知对方于其惯性系O'观测到此物体速度u'是多少时，而我们的惯性系O处，却因为观测不到此物体(被障碍物阻挡等原因)，想知道此物体相对于我们的惯性系O的速度是多少时，所使用的公式。所以反转换式中的u' u v 值与正转换中的u' u v值是同一个值。因此我们可选择不经过反转换的劳仑兹变换，而直接由正转换的相对论速度变换公式，经移项推导获得。 假定O系与O'系仅有x方向的相对运动，且正转换的相对论速度变换公式已知如下：

$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$_____(5)

$u'_{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$_____(6)

$u'_{z}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$_____(7)

则反转换的相对论速度变换公式可由以上的正转换公式经移项推得。 以下仅以推导x方向分量的反转换相对论速度变换公式为例，其余y与z方向的推导原理相同。 推导如下：

由(5)知：

$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

移项得：

$u'_{x}(1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}})=u_{x}-v$

$u'_{x}-{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}u_{x}-u_{x}+v=0$

$u'_{x}+v-({\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}+1)u_{x}=0$

$u'_{x}+v=({\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}+1)u_{x}$

最后得到x方向分量的反转换相对论速度变换公式为：

$u_{x}={\frac {u'_{x}+v}{1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}}}$

另外，观察反转换公式的形式可发现，其恰好是将正转换中的v变成-v，u_x、u_y、u_z分别与u'_x、u'_y、u'_z互换所得到的形式。但这种互换方式不能当作推导，仅是一种方便记忆的方法。