等离子物理学/低频波与Alfvén波

导论

• 本章聚焦在理想MHD与电阻性MHD框架下的低频波，特别是Alfvén 波与磁声波。
• 目标：掌握色散关系、极化、传播特征与典型阻尼机制。

理想MHD线性化

• 背景 $\mathbf {B} _{0}$ 均匀，密度 $\rho _{0}$、压强 $p_{0}$
• 设微扰 $\delta \mathbf {u} ,\delta \mathbf {B} ,\delta p$，令 $\propto e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$
• 得到标准三模：Alfvén、快磁声、慢磁声

Alfvén 波

• 色散关系：$\omega =k_{\parallel }v_{A}$
• Alfvén 速度：$v_{A}={\frac {B_{0}}{\sqrt {\mu _{0}\rho _{0}}}}$
• 极化：横向、磁张力主导，磁压不变
• 能量与群速度：沿 $\mathbf {B} _{0}$ 传播，$\mathbf {v} _{g}$ 与相速度一致

磁声波

• 快模与慢模色散：取决于 $\theta$（$\mathbf {k}$ 与 $\mathbf {B} _{0}$ 的夹角）与 $c_{s}$、$v_{A}$
• 特征速度：$c_{f},c_{s}$ 由磁压与气体压强组合

电阻性与粘性效应

• 电阻性阻尼：$\eta$ 引入磁扩散，令 $\omega \rightarrow \omega +i\gamma$
• 粘性项：$\nu$ 对速度微扰产生耗散

低频近似与尺度分离

• 要求 $\omega \ll \omega _{ci}$，忽略电子惯性与位移电流
• 长尺度近似：$k\rho _{i}\ll 1$

剪切Alfvén与全局模

• 在托卡马克中形成离散谱，安全因子 $q$ 与磁面剪切决定频率窗
• TAEs：由Alfvén 连续谱间隙形成的全局不稳定模

回旋与有限拉莫尔半径修正

• 双流体/动理学引入有限 $\rho _{i}$ 修正色散
• 出现离子回旋共振吸收与模式转换

边界与几何效应

• 管道/环形几何的边界条件改变谱与模式结构
• 开放端反射与吸收导致模型离散化

流动与剪切对稳定性影响

• 背景流 $\mathbf {U}$ 产生多普勒移与剪切稳定化
• 速度剪切可抑制某些漂移驱动的低频模

诊断方法

• 磁探针与互感线圈测量磁涨落
• 密度扰动成像与光学法检测波结构
• 功率谱分析识别Alfvén 连续谱与间隙模

示例推导

• 从线性化MHD方程出发推导 $\omega =k_{\parallel }v_{A}$ 的过程（示意步骤）
• 指出关键近似与物理解释

常见误区

• 将快模与Alfvén 模混淆，忽略极化差异
• 忽略电阻性与几何对频率的影响
• 过度使用理想近似在有强耗散的实验条件下

小练习

1. 推导理想Alfvén 波色散并给出极化方向
2. 说明TAE形成的物理原因与安全因子角色
3. 讨论有限拉莫尔半径如何修正低频色散
4. 估算电阻性阻尼对频率与增长率的影响
5. 设计一个磁探针阵列以识别剪切Alfvén 模