经典力学/刚体转动与欧拉角

陀螺仪进动的示意图，其运动由欧拉角描述。这种装置是第一个通过刚体动力学解析其行为的经典系统。

　　在组成经典力学的物理对象中，最复杂的就是刚体。在课本上，刚体被称为转动力学的主要研究对象，这是为什么呢？通过这一节的学习，我们将会发现其中的奥秘。物理中有一句话，叫做"对称性决定守恒律"，斯言妙哉！在刚体中，就是这样。因为刚体有着多种多样的转动自由度，使得它能够具有多样的运动模式，在力学系统中发挥着极大的作用，所以它才被称为转动力学的主要研究对象。
　　刚体（Rigid body）是一种理想化的物理模型，其基本特征是形变可忽略（Negligible deformation）。一个刚体的运动由质心的平动和绕质心的转动两部分组成。在描述转动时，我们需要三个独立的角度参数来完整刻画刚体的空间取向，这三个角度就是欧拉角（Euler angles）。在自然界中，刚体的转动形式有无穷多种，但在经典力学中，欧拉角的定义方式有多种约定，最常用的是ZXZ约定和ZYZ约定。
　　那么，简简单单的三个角度是如何完整描述刚体取向的呢？这和它的组合方式有关。欧拉角的定义方法是，首先绕固定坐标系的$z$轴旋转角度$\alpha$（进动角），然后绕新坐标系的$x'$轴旋转角度$\beta$（章动角），最后绕体坐标系的$z''$轴旋转角度$\gamma$（自转角），依次完成三次旋转，就能将刚体从初始位置转到任意取向。其中连接这三次旋转的数学工具叫旋转矩阵。以此类推，三个欧拉角对应三个旋转矩阵，三个矩阵的乘积构成总旋转矩阵。并且，我们会发现一个规律：旋转矩阵的行列式永远等于1，且矩阵的逆等于其转置。不过，我们还要考虑一种特殊的情况，就是当章动角$\beta =0$或$\pi$时，进动角和自转角的作用重合，此时欧拉角表示出现奇异性（万向锁问题）。此时，我们就会发现，需要改用四元数等其他表示方法。
　　刚体的角速度矢量可以通过欧拉角及其时间导数表示。角速度在体坐标系中的三个分量为：$\omega _{x}={\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma$，$\omega _{y}={\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma$，$\omega _{z}={\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}$。在刚体内，每个质元的角速度相同；描述转动时，不同欧拉角速率的组合方式千变万化；描述复杂运动时，角速度矢量的方向及大小千差万别。这就是刚体运动复杂性的原因。
　　刚体的转动惯量张量能被外力矩、角加速度、进动等因素改变，导致运动状态变化，但是在无外力矩情况下角动量守恒。如误将刚体简化为质点会导致转动描述错误，是因为忽略了转动自由度，会丢失角动量信息，使模型失效。可以先建立刚体坐标系、计算转动惯量张量，然后应用欧拉方程进行求解，因为欧拉方程包含了完整的转动动力学信息，能正确描述刚体运动。
　　一些刚体具有对称结构，如陀螺、飞轮、卫星的主要部件是对称刚体；一些刚体具有能量存储功能，如飞轮可以储存转动动能；一些刚体具有稳定功能，大部分陀螺仪都是刚体；一些刚体具有传递运动的功能，调节机械系统的运转，如齿轮；一些刚体具有导航功能，如航天器的姿态控制系统，能抵御外力矩对姿态的扰动。
　　值得关注的是，刚体的转动状态并不是一成不变的。在自由转动时，只有绕主轴（最大或最小转动惯量对应的轴）的转动是稳定的，绕中间主轴的转动是不稳定的，这就是著名的网球拍定理（Tennis racket theorem）。

欧拉角的数学表示

　　设固定坐标系为$(x,y,z)$，体坐标系为$(x'',y'',z'')$，三次旋转依次为：

1. 绕$z$轴旋转$\alpha$（进动）： $R_{z}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

2. 绕新$x'$轴旋转$\beta$（章动）： $R_{x'}(\beta )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}$

3. 绕体$z''$轴旋转$\gamma$（自转）： $R_{z''}(\gamma )={\begin{pmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

　　总旋转矩阵为：$R=R_{z}(\alpha )R_{x'}(\beta )R_{z''}(\gamma )$。

欧拉动力学方程

　　在体坐标系（主轴坐标系）中，刚体的转动由欧拉方程描述：

$I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}=M_{1}$
$I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}=M_{2}$
$I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}=M_{3}$

　　其中$I_{1},I_{2},I_{3}$为主转动惯量，$\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}$为角速度分量，$M_{1},M_{2},M_{3}$为外力矩分量。当$M_{i}=0$时，系统角动量守恒，刚体做自由转动。

应用实例

• 陀螺仪：利用角动量守恒原理，保持自转轴方向稳定，用于导航和姿态测量。
• 卫星姿态控制：通过反作用轮或控制力矩陀螺调整欧拉角，实现卫星定向。
• 刚体摆：如复摆、物理摆，其运动由转动惯量和重力矩共同决定。
• 分子转动：量子力学中分子的转动能级与经典刚体转动模型相关。