经典力学/多自由度小振动与本征模

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多自由度小振动与本征模

• 线性化：在平衡附近将势能二阶展开，得到 $\mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}+\mathbf {K} \mathbf {q} =\mathbf {0}$，其中 $\mathbf {q}$ 为广义坐标，$\mathbf {M}$ 质量矩阵，$\mathbf {K}$ 势刚度矩阵。

• 本征问题：设 $\mathbf {q} (t)={\boldsymbol {\phi }}e^{i\omega t}$，得广义特征方程 $(\mathbf {K} -\omega ^{2}\mathbf {M} ){\boldsymbol {\phi }}=\mathbf {0}$，频率为本征值、模态形状为本征向量。

• 正交性与归一化：不同模态满足 ${\boldsymbol {\phi }}_{i}^{\top }\mathbf {M} {\boldsymbol {\phi }}_{j}=0$（$i\neq j$）；常用质量归一化 ${\boldsymbol {\phi }}_{i}^{\top }\mathbf {M} {\boldsymbol {\phi }}_{i}=1$。

• 模态叠加：通解为各模态独立叠加；受迫时每个模态可独立受力并在其共振频率附近响应显著。

• 简例：二质点、三弹簧系统给出两模态：同相与反相；频率由端点与中间弹簧刚度共同决定。

练习

1. 写出二质点三弹簧系统的$\mathbf {M} ,\mathbf {K}$，并求解本征频率与本征向量。
2. 说明质量归一化与单位最大位移归一化的区别，并各自适用场景。