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曲线运动与曲率

曲线运动描述质点沿一般空间曲线的运动学性质。核心量包括速度、加速度在自然标架上的分解，以及曲率与曲率半径对方向改变速率的刻画。

自然标架（Frenet 标架）

给定可微曲线位置矢量$\mathbf {r} (t)$，速率$v=\|{\dot {\mathbf {r} }}\|$，单位切向量${\hat {\boldsymbol {\tau }}}={\dot {\mathbf {r} }}/v$。自然标架由

1. 切向：${\hat {\boldsymbol {\tau }}}$（沿运动方向），
2. 法向：${\hat {\mathbf {n} }}$（指向曲率中心），
3. 若在空间曲线，还可定义挠向${\hat {\mathbf {b} }}={\hat {\boldsymbol {\tau }}}\times {\hat {\mathbf {n} }}$

组成，构成右手正交基。

曲率与曲率半径

曲率$\kappa$刻画曲线转向的强弱，定义为单位切向量对弧长的变化率：

1. $\kappa =\left\|{\dfrac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\tau }}}}{\mathrm {d} s}}\right\|$，曲率半径$\rho ={\dfrac {1}{\kappa }}$。
2. 以时间参数表示：$\kappa ={\dfrac {\|{\hat {\boldsymbol {\tau }}}'(t)\|}{\mathrm {d} s/\mathrm {d} t}}={\dfrac {\|{\dot {\hat {\boldsymbol {\tau }}}}\|}{v}}$。
3. 平面曲线$\mathbf {r} =(x(t),y(t))$时的显式表达：

$\displaystyle \kappa ={\frac {|x'\,y''-y'\,x''|}{\left((x')^{2}+(y')^{2}\right)^{3/2}}}$，其中撇号为对$t$求导。

速度与加速度的自然分解

速度总与切向一致：$\mathbf {v} =v\,{\hat {\boldsymbol {\tau }}}$。加速度可分解为切向与法向分量：

1. $\mathbf {a} =\underbrace {\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}} _{a_{\tau }}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}+\underbrace {v^{2}\kappa } _{a_{n}}\,{\hat {\mathbf {n} }}=a_{\tau }\,{\hat {\boldsymbol {\tau }}}+a_{n}\,{\hat {\mathbf {n} }}$。
2. 物理意义：$a_{\tau }$改变速率大小；$a_{n}$只改变方向，其大小与弯曲程度和速率平方成正比：$a_{n}={\dfrac {v^{2}}{\rho }}$。

常见运动的特例

• 匀速圆周运动（半径$R$，角速度$\omega$）：

1. $v=R\omega$，$\kappa =1/R$；

2. $\mathbf {v} =R\omega \,{\hat {\boldsymbol {\tau }}}$，$\mathbf {a} =-R\omega ^{2}\,{\hat {\mathbf {n} }}$（指向圆心）。

• 平面曲线极坐标$(r,\theta )$：当$r=r(\theta )$且以角度为参数时，曲率可写为

$\displaystyle \kappa ={\frac {|r^{2}+2(r')^{2}-r\,r''|}{\left(r^{2}+(r')^{2}\right)^{3/2}}}$，其中撇号为对$\theta$求导。

• 自由落体叠加水平抛（抛物线）：

1. 轨迹$y(x)=x\tan \alpha -{\dfrac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }}\,x^{2}$；

2. 其曲率（关于$x$的函数）：$\displaystyle \kappa ={\frac {|y''|}{\left(1+(y')^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {\dfrac {g}{v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }}{\left(1+\tan ^{2}\alpha -{\dfrac {gx}{v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }}\right)^{3/2}}}$。

弧长、转角与总曲率

1. 弧长：$s(t)=\int _{t_{0}}^{t}\|{\dot {\mathbf {r} }}(\tau )\|\,\mathrm {d} \tau$。
2. 转角：切向与参考方向的夹角$\phi$满足${\dfrac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} s}}=\kappa$；总转角为$\Delta \phi =\int \kappa \,\mathrm {d} s$。
3. 对闭合平面曲线，若无自交，则总曲率为$2\pi$（定向一致）。

应用提示

1. 需快速判断“转得有多急”：看$\kappa$或$a_{n}=v^{2}\kappa$。
2. 已知速度标量$v(t)$与曲率$\kappa (s)$，可通过${\dfrac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\tau }}}}{\mathrm {d} t}}=v\kappa \,{\hat {\mathbf {n} }}$恢复方向演化，再积分得轨迹（结合初始条件）。
3. 在数值计算中，避免差分噪声：优先用参数样条或平滑导数再评估$\kappa$。