经典力学/极坐标与自然标架

在平面内用极坐标 $(r, θ)$ 描述位置。引入单位矢量 $𝐞_{r}$ （径向，指向原点外侧）与 $𝐞_{θ}$ （切向，沿极角增大的方向）。位置矢量为 $𝐫 = r 𝐞_{r} .$

单位矢量随时间的变化为 ${\dot{𝐞}}_{r} = \dot{θ} 𝐞_{θ}, {\dot{𝐞}}_{θ} = - \dot{θ} 𝐞_{r} .$

据此得到

1. 速度： $𝐯 = \dot{𝐫} = \dot{r} 𝐞_{r} + r \dot{θ} 𝐞_{θ} .$

2. 加速度： $𝐚 = \ddot{𝐫} = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) 𝐞_{r} + (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) 𝐞_{θ} .$

说明：

1. 径向分量中的 $- r {\dot{θ}}^{2}$ 为向心项，方向指向原点。

2. 切向分量中的 $2 \dot{r} \dot{θ}$ 来自径向变化与转动的耦合。

令空间曲线以弧长 $s$ 参数化，位置 $𝐫 (s)$ 。自然（Frenet）标架定义为：

1. 单位切向量： $𝐓 = \frac{d 𝐫}{d s} .$

2. 单位法向量： $𝐍 = \frac{d 𝐓 / d s}{‖ d 𝐓 / d s ‖} .$

3. 单位副法向量： $𝐁 = 𝐓 \times 𝐍 .$

曲率 $κ$ 与挠率 $τ$ 满足 Frenet–Serret 方程：

$\frac{d 𝐓}{d s} = κ 𝐍$

$\frac{d 𝐍}{d s} = - κ 𝐓 + τ 𝐁$

$\frac{d 𝐁}{d s} = - τ 𝐍$

若沿曲线的速率 $v = \frac{d s}{d t}$ ，则

1. 速度： $𝐯 = \frac{d 𝐫}{d t} = v 𝐓 .$

2. 加速度： $𝐚 = \frac{d 𝐯}{d t} = \dot{v} 𝐓 + v^{2} κ 𝐍 .$

说明：

1. 切向加速度 $\dot{v}$ 改变速率大小。

2. 法向加速度 $v^{2} κ$ 决定弯曲程度与指向，沿 $𝐍$ 指向曲率中心。

3. 挠率 $τ$ 描述曲线脱离密切平面的扭转，但不直接出现在加速度分解中。

当运动限制在同一平面内，并以极坐标 $(r, θ)$ 描述时：

1. 速率： $v = \sqrt{{\dot{r}}^{2} + (r \dot{θ})^{2}} .$

2. 法向加速度与曲率关系： $𝐚 \cdot 𝐍 = v^{2} κ .$ 实际计算中，常先由极坐标分量得到 $𝐯$ 与 $𝐚$ ，再投影到法向以求 $κ$ 。

1. 匀角速度圆周运动： $r = R$ 常数， $\dot{θ} = ω$ 常数。

2. 阿基米德螺线： $r = a θ$ 。 $\dot{r} = a \dot{θ}$ ，速率 $v = \sqrt{(a \dot{θ})^{2} + (a θ \dot{θ})^{2}} = a | \dot{θ} | \sqrt{1 + θ^{2}} .$

将 $\dot{r}, \ddot{r}, \dot{θ}, \ddot{θ}$ 代入极坐标加速度分量表达式，可分析曲率随 $θ$ 的变化趋势。