经典力学/正则变换与生成函数

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正则变换与生成函数

• 正则变换：从$(𝐪,𝐩)$到$(𝐐,𝐏)$的映射若保持泊松结构，即$\{Q_i,Q_j\}=0$、$\{P_i,P_j\}=0$、$\{Q_i,P_j\}={\delta }_{ij}$，则为正则变换。

• 生成函数类型：常用四类生成函数 $F_1(𝐪,𝐐,t)$，$F_2(𝐪,𝐏,t)$，$F_3(𝐩,𝐐,t)$，$F_4(𝐩,𝐏,t)$。

• 以$F_2(𝐪,𝐏,t)$为例：变换关系 $p_j=\frac{\partial F_2}{\partial q_j}$，$Q_j=\frac{\partial F_2}{\partial P_j}$，新哈密顿量 $K=H+\frac{\partial F_2}{\partial t}$。

• 物理用途：通过恰当的生成函数，可将问题化简、去除时间依赖或转至可分离坐标。

• 示例：单摆小振动的动作-角近似可通过适配的$F_2$实现变量分离（与H-J方法关联）。

练习

1. 给出一个线性正则变换$Q=\alpha q$、$P=p/\alpha$，构造对应的$F_2(q,P)$并验证泊松结构保持。
2. 对$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{q}^2$，尝试选择$F_2$使新变量为幅角形式，并说明新$K$的形状。