经典力学/正则变换与生成函数

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正则变换与生成函数

• 正则变换：从$(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$到$(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )$的映射若保持泊松结构，即$\{Q_{i},Q_{j}\}=0$、$\{P_{i},P_{j}\}=0$、$\{Q_{i},P_{j}\}=\delta _{ij}$，则为正则变换。

• 生成函数类型：常用四类生成函数 $F_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)$，$F_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$，$F_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$，$F_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$。

• 以$F_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$为例：变换关系 $p_{j}={\dfrac {\partial F_{2}}{\partial q_{j}}}$，$Q_{j}={\dfrac {\partial F_{2}}{\partial P_{j}}}$，新哈密顿量 $K=H+{\dfrac {\partial F_{2}}{\partial t}}$。

• 物理用途：通过恰当的生成函数，可将问题化简、去除时间依赖或转至可分离坐标。

• 示例：单摆小振动的动作-角近似可通过适配的$F_{2}$实现变量分离（与H-J方法关联）。

练习

1. 给出一个线性正则变换$Q=\alpha q$、$P=p/\alpha$，构造对应的$F_{2}(q,P)$并验证泊松结构保持。
2. 对$H={\tfrac {p^{2}}{2m}}+{\tfrac {1}{2}}kq^{2}$，尝试选择$F_{2}$使新变量为幅角形式，并说明新$K$的形状。