经典力学/碰撞与冲量方法

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碰撞与冲量方法

• 冲量：短时强作用期间 $\mathbf {J} =\int _{t^{-}}^{t^{+}}\mathbf {F} \,dt=\Delta \mathbf {p}$，将复杂接触力时程等效为动量跃迁。

• 一维恢复系数：$e={\dfrac {v_{2}'-v_{1}'}{v_{1}-v_{2}}}$；$e=1$ 完全弹性，$0<e<1$ 非完全弹性，$e=0$ 完全非弹性。

• 基本方程

1. 动量守恒：$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'$
2. 恢复方程：$v_{2}'-v_{1}'=-e\,(v_{2}-v_{1})$

• 斜碰分解：将速度与冲量分解为法向与切向；法向由 $e$ 决定，切向受摩擦冲量与无滑动约束共同限制。

• 刚体与角动量：对接触点取矩，若外矩可忽略，则关于该点角动量守恒；需结合转动惯量与接触冲量求角速度跃迁。

• 能量损失：非弹性碰撞的动能损失 $\Delta E=K_{\text{前}}-K_{\text{后}}\geq 0$，反映形变、热与声等耗散机理。

练习

1. 已知$m_{1},m_{2},e,v_{1},v_{2}$的一维碰撞，求$v_{1}',v_{2}'$的代数表达式。
2. 光滑平面上小球以与墙法线夹角$\theta$入射，设切向无摩擦、法向恢复系数为$e$，求反射后速度。