经典力学/空气阻力下的抛体运动

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空气阻力下的抛体运动

• 线性阻力（低速）：$\mathbf {F} _{D}=-b\mathbf {v}$。分量方程 $m{\dot {v}}_{x}=-bv_{x}$，$m{\dot {v}}_{y}=-mg-bv_{y}$。

• 解析解（线性）

1. 水平：$v_{x}(t)=v_{x0}e^{-t/\tau }$，$x(t)=v_{x0}\tau (1-e^{-t/\tau })$，$\tau =m/b$。
2. 竖直：$v_{y}(t)=(v_{y0}+g\tau )e^{-t/\tau }-g\tau$，

$y(t)=y_{0}+(v_{y0}+g\tau )\tau (1-e^{-t/\tau })-g\tau t$。

• 二次阻力（高速）：$\mathbf {F} _{D}=-{\tfrac {1}{2}}C_{D}\rho Av\,\mathbf {v}$。一般需数值求解；极限速度 $v_{t}={\sqrt {\dfrac {2mg}{C_{D}\rho A}}}$。

• 轨迹特征：最佳发射角小于 $45^{\circ }$；水平位移受 $\tau$ 限制趋于饱和；上升段更快衰减。

• 无量纲化：以 $\tau =m/b$、$v_{*}=g\tau$、$\ell _{*}=v_{*}\tau$ 缩放，得到仅含初值参数的无量纲方程，便于不同物体比较。

• 实验拟合：通过轨迹数据拟合估计 $b$ 或 $C_{D}$，比较线性与二次模型残差以选型。

练习

1. 已知 $m,b,v_{x0},v_{y0}$，求达到最高点的时间与高度（线性阻力）。
2. 讨论二次阻力下“最佳发射角”如何依赖 $C_{D}\rho A/m$（定性）。