经典力学/简谐振动与相位

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简谐振动与相位

• 方程与解：一维简谐振动满足 $m{\ddot {x}}+kx=0$，通解 $x(t)=A\cos(\omega t+\phi )$，其中 $\omega ={\sqrt {k/m}}$。

• 相位与初值：相位 $\phi$ 由初始条件确定；$x(0)=x_{0},\,{\dot {x}}(0)=v_{0}$ 给出 $A={\sqrt {x_{0}^{2}+(v_{0}/\omega )^{2}}}$、$\phi =\arctan \!{\big (}-v_{0}/(\omega x_{0}){\big )}$（注意象限）。

• 能量：总能量 $E={\tfrac {1}{2}}kA^{2}$，动能 $K={\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$、势能 $U={\tfrac {1}{2}}kx^{2}$ 在周期内互换但 $E$ 不变。

• 相位图：$(x,{\dot {x}})$ 相图为椭圆 $(x/A)^{2}+({\dot {x}}/\omega A)^{2}=1$，逆时针匀速运动。

• 复数表示：令 $x(t)=\Re \{{\tilde {A}}e^{i\omega t}\}$，线性叠加更便捷；相位差通过复幅的辐角表示。

练习

1. 已知$x(0)=x_{0},{\dot {x}}(0)=0$，写出$x(t)$并给出相位$\phi$。
2. 画出幅值为$A$的相位图椭圆方程，并标注最大速度。