经典力学/达朗贝尔原理与拉格朗日方程

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达朗贝尔原理与拉格朗日方程

• 达朗贝尔原理：对每一允许虚位移 $\delta \mathbf {r} _{i}$，有 $\sum _{i}{\big (}\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}{\big )}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$；若约束力不做虚功（即理想约束），则 $\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{({\text{约}})}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$，因此只需考虑有效力。

• 拉格朗日函数与方程：定义 $L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=K-U$，满足 ${\dfrac {d}{dt}}\!\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial q_{j}}}=Q_{j}^{({\text{非保守}})}$；若仅保守力则右侧为零。

• 坐标不变性：在任意可微坐标变换下，方程形式不变，体现几何协变性与坐标选择的自由度。

• 处理非保守力：黏性阻尼可通过瑞利耗散函数 $R={\tfrac {1}{2}}c\,{\dot {x}}^{2}$ 给出 $Q_{x}^{({\text{非保守}})}=-{\dfrac {\partial R}{\partial {\dot {x}}}}=-c\,{\dot {x}}$。

• 约束力自动消元：用独立 $\mathbf {q}$ 编码约束后，约束力不显式出现；非完整约束需用乘子或高斯原理等处理。

练习

1. 对单摆$q=\theta$，写出$L$并推导运动方程${\ddot {\theta }}+{\dfrac {g}{\ell }}\sin \theta =0$（小角近似可给出线性化）。
2. 含黏性阻尼的弹簧质点，用瑞利耗散函数法写出修正的拉格朗日方程并得到欠阻尼条件。