电浆物理学/附录C 常见推导与公式表

附录C：常见推导与公式表

• 本附录汇总常用方程、色散关系与标度律，便于快速查阅。注意各式的适用前提与量纲一致性。

基本守恒律

• 质量守恒：${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$
• 动量守恒：$\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t}}=-\nabla p+\mathbf {J} \times \mathbf {B} +\nabla \cdot {\boldsymbol {\Pi }}$
• 全能量守恒：${\frac {\partial W}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =Q-L$

Maxwell 方程

• 高斯定律：$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{c}/\varepsilon _{0}$
• 磁通无散：$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
• 法拉第感应：$\nabla \times \mathbf {E} =-\partial _{t}\mathbf {B}$
• 安培-麦克斯韦：$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}\partial _{t}\mathbf {E}$

广义欧姆定律

• $\mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} =\eta \mathbf {J} +{\frac {\mathbf {J} \times \mathbf {B} }{ne}}-{\frac {\nabla p_{e}}{ne}}+{\frac {m_{e}}{ne^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}$

理想与非理想MHD

• 诱导方程（理想）：$\partial _{t}\mathbf {B} =\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )$
• 诱导方程（含电阻）：$\partial _{t}\mathbf {B} =\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )+\eta \nabla ^{2}\mathbf {B}$
• 状态方程（等熵近似）：$p\propto \rho ^{\gamma }$

典型色散关系

• Alfvén 波：$\omega ^{2}=k_{\parallel }^{2}v_{A}^{2}$
• 快/慢磁声波：$\omega ^{2}={\frac {1}{2}}\left[(c_{s}^{2}+v_{A}^{2})k^{2}\pm {\sqrt {(c_{s}^{2}+v_{A}^{2})^{2}k^{4}-4c_{s}^{2}v_{A}^{2}k_{\parallel }^{2}k^{2}}}\right]$
• 朗缪尔波：$\omega ^{2}=\omega _{pe}^{2}+3k^{2}v_{Te}^{2}$
• 离子声波：$\omega ^{2}={\frac {k^{2}c_{s}^{2}}{1+k^{2}\lambda _{De}^{2}}}$

重联与扩散标度

• Sweet–Parker 厚度：$\delta \sim {\frac {L}{\sqrt {S}}}$
• 重联速率：$R\sim {\frac {v_{A}}{\sqrt {S}}}$
• Hall 判据：$\delta \lesssim d_{i}=c/\omega _{pi}$

湍流与各向异性

• Kolmogorov 能谱：$E(k)\sim \varepsilon ^{2/3}k^{-5/3}$
• GS95 临界平衡：$k_{\parallel }\propto k_{\perp }^{2/3}$

ICF 关键量

• 激光临界密度：$n_{c}=\varepsilon _{0}m_{e}\omega _{0}^{2}/e^{2}$
• 点火面密度：达到 $\rho R$ 阈值后由 α 自热维持

数值稳定与无散

• CFL 条件：$\Delta t\leq \mathrm {CFL} \,{\frac {\Delta x}{\max |\lambda _{m}|}}$
• 无散磁场约束：CT 法保证离散 $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

常见近似

• 低频近似：忽略位移电流
• 等温近似：$p=c_{s}^{2}\rho$

小练习

1. 在低β与高β极限下，快/慢磁声色散式分别如何简化？给出物理解释
2. 在给定 S 与 L 的条件下估算重联层厚度，并判断是否进入 Hall 区域
3. 对于各向异性湍流，若注入率恒定，推导 $k_{\parallel }\propto k_{\perp }^{2/3}$ 的关键时间尺度匹配
4. 用广义欧姆定律判断何种空间尺度上 Hall 项与电子压力梯度项占优
5. 给出含电阻的诱导方程中磁扩散时间尺度与对流时间尺度，并写出磁雷诺数定义