交換代數/域上的代數擴張與分裂域概覽

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在交換代數中，域擴張 $L/F$ 是最常見的「背景升級」：在保留 $F$ 運算規則的前提下，把可用元素擴充到更大的域 $L$。
本頁概覽兩件緊密相關的事：代數擴張與分裂域，並給出最常用的定義、構造思路與典型例子，作為後續 交換代數/伽羅瓦理論入門 的入口。

1. 域擴張與代數元

設 $L/F$ 為域擴張，$\alpha \in L$。
若存在非零多項式 $f(x)\in F[x]$ 使 $f(\alpha )=0$，則稱 $\alpha$ 在 $F$ 上代數；否則稱為超越。
若 $L$ 中每個元素都在 $F$ 上代數，則稱 $L/F$ 為代數擴張。

2. 單擴張、最小多項式與擴張次數

對 $\alpha \in L$，記 $F(\alpha )$ 為由 $F$ 與 $\alpha$ 生成的最小子域（單擴張）。
若 $\alpha$ 在 $F$ 上代數，則存在唯一的首一不可約多項式 $m_{\alpha ,F}(x)\in F[x]$ 使得 $m_{\alpha ,F}(\alpha )=0$，稱為 $\alpha$ 的最小多項式；且有
$[F(\alpha ):F]=\deg m_{\alpha ,F}(x)$。

3. 分裂域：讓多項式「全體根到齊」的最小域

設 $f(x)\in F[x]$。若在某擴張 $K/F$ 中，$f$ 可寫為一次因子的乘積（在 $K[x]$ 中完全分解），則稱 $f$ 在 $K$ 上分裂。
若 $E/F$ 滿足：

• $f$ 在 $E$ 上分裂；
  
• $E$ 由 $f$ 的所有根生成，即 $E=F(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$；
  
• 在滿足上述條件的擴張中 $E$ 最小；
  

則稱 $E$ 為 $f$ 在 $F$ 上的分裂域。

4. 分裂域的構造要點（概念版）

分裂域一定存在，常見構造思路是「逐步加根」：

1. 若 $f$ 在 $F$ 上不分裂，先取一個不可約因子 $p(x)$；
   
2. 令 $F_{1}=F[x]/(p(x))$，則在 $F_{1}$ 中 $p$ 至少出現一個根；
   
3. 將上述過程對尚未分裂的部分重複，最終得到使 $f$ 完全分裂的擴張域；
   
4. 把所有根都加入得到的生成域，就是分裂域。
   

5. 兩個經典例子

• $f(x)=x^{2}-2\in \mathbb {Q} [x]$：分裂域為 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$，次數為 $2$。
  
• $f(x)=x^{3}-2\in \mathbb {Q} [x]$：僅加入 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 還不夠得到全部復根；其分裂域可表示為 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )$（$\omega$ 為本原三次單位根）。
  

相關內容可參考：交換代數/伽羅瓦理論入門、交換代數/域與多項式環。