交換代數/多項式環與理想

多項式環

給定帶么交換環 $R$ ，其一元多項式環記為 $R [x]$ 。元素是形如 $a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}$ 的有限和，其中 $a_{i} \in R$ 。加法逐項進行；乘法由分配律與 $x^{i} x^{j} = x^{i + j}$ 給定。若 $R$ 是整環，則 $R [x]$ 亦為整環；若 $R$ 是域，則 $R [x]$ 是主理想整環但不是域（除非常數項域退化）。

常見的嵌入：係數恆等嵌入 $R ↪ R [x]$ ，把 $a \in R$ 視為常數多項式；對任意環同態 $φ : R \to S$ 與元素 $s \in S$ ，存在唯一環同態 $Φ : R [x] \to S$ 使得 $Φ |_{R} = φ$ 且 $Φ (x) = s$ ，這體現了 $R [x]$ 關於一個「自由不定元」的泛性質。

變量可增多至 $R [x_{1}, \dots, x_{n}]$ ，其構造迭代進行： $R [x_{1}, \dots, x_{n}] ≅ (\dots (R [x_{1}]) [x_{2}] \dots) [x_{n}]$ 。對任意集合 $X$ ，亦可定義多元多項式環 $R [X]$ 。

理想與生成元

在環 $A$ 中，理想 $I \subseteq A$ 是對加法封閉且對 $A$ 中元素乘法吸收的加法子群。對於 $A = R [x]$ ，若 $S \subseteq R [x]$ ，則 $(S)$ 表示由 $S$ 生成的最小理想；當 $S = {f_{1}, \dots, f_{m}}$ 時，也寫作 $(f_{1}, \dots, f_{m})$ 。

若 $R$ 是域，則 $R [x]$ 為主理想整環，任一理想均由單個多項式生成。一般的 $R [x]$ （ $R$ 不必為域）不一定是主理想整環，但仍是諾特環：若 $R$ 是諾特，則 $R [x]$ 也是諾特（希爾伯特基定理）。

商環與評估

對 $R [x]$ 的理想 $I$ ，商環 $R [x] / I$ 通過在等價類上定義加乘得到。典型情形：若 $R$ 為域且 $f (x) \in R [x]$ 非零，則 $R [x] / (f)$ 的元素可由次數小於 $\deg f$ 的多項式代表，且當 $f$ 不可約時該商為域。

對 $a \in R$ ，評估同態 ${e v}_{a} : R [x] \to R$ 定義為 ${e v}_{a} (\sum a_{i} x^{i}) = \sum a_{i} a^{i}$ 。其核為 $(x - a)$ 若且唯若 $R$ 為整環且 $a$ 屬於使代數等式成立的適當情形；在域上更具體： $\ker ({e v}_{a}) = (x - a)$ 。因此 $R [x] / (x - a) ≅ R$ 。

不可約性與因式分解

在域 $k$ 上， $k [x]$ 是歐幾里得環，存在帶餘除法：對任意 $f, g \in k [x]$ （ $g \neq 0$ ），存在唯一 $q, r$ 使 $f = q g + r$ 且 $\deg r < \deg g$ 。因此 $k [x]$ 是主理想整環與唯一分解整環。不可約多項式在 $k [x]$ 中類似質數，任何非常數多項式可唯一（至單位與次序）分解為不可約因子。

常用判別法包括艾森斯坦判別法：若存在質數 $p \in ℤ$ 使得 $p$ 整除所有非首項係數、 $p$ 不整除首項係數且 $p^{2}$ 不整除常數項，則該整係數多項式在 $ℚ [x]$ 中不可約。

代數與幾何的橋梁

若 $k$ 為代數閉域，則阿芬幾何中把多項式函數的零點集與理想聯繫起來：給定 $I \subseteq k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ ，其零點集 $V (I)$ 是 $k^{n}$ 中同時滿足 $I$ 中全部多項式為零的點集；而對代數集 $X \subseteq k^{n}$ ，定義其消去理想 $I (X) = {f : f |_{X} \equiv 0}$ 。強形式的諾特–零點定理敘述了在代數閉域上 $I (V (I)) = \sqrt{I}$ ，其中 $\sqrt{I}$ 為 $I$ 的根理想。這一對應把「理想的根性」與「幾何零點」的閉包現象聯繫起來。

主理想整環情形

- 若 $R$ 為域，則：

 *  $R [x]$  为欧几里得环，理想均为  $(f)$  的形式；
 * 对任意  $f, g$ ，存在最大公因子  $gcd (f, g)$ ，并可由扩展欧几里得算法表为  $a f + b g = gcd (f, g)$ 。

- 若 $R$ 為主理想整環，則 $R [x]$ 一般不再為主理想整環，但仍為唯一分解整環當 $R$ 是UFD時成立，且 $R [x]$ 亦為UFD。

理想運算

給定 $I, J \subseteq R [x]$ ： - 和： $I + J = {f + g : f \in I, g \in J}$ ； - 交： $I \cap J$ ； - 積： $I J = {\sum_{k} f_{k} g_{k} : f_{k} \in I, g_{k} \in J}$ ； - 商： $(I : J) = {h \in R [x] : h J \subseteq I}$ 。

這些運算在代數幾何與消元理論中頻繁出現，例如初等分解、飽和與消元理想的構造。

多元理想與Groebner基

在 $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ 上（ $k$ 為域），選定單項式序（如字典序、分次字典序），每個非零多項式有首項 $L T (f)$ 。理想 $I$ 的Gröbner基是有限集合 $G \subset I$ ，使得 $⟨ L T (I) ⟩ = ⟨ L T (G) ⟩$ 。其性質包括： - 提供一套標準形，決定了在商 $k [x] / I$ 中的唯一餘式表示； - 使判定成員關係與理想包含變為算法問題； - 支持消元：若使用消元序， $G \cap k [x_{r + 1}, \dots, x_{n}]$ 生成消元理想 $I \cap k [x_{r + 1}, \dots, x_{n}]$ 。

Buchberger算法給出構造方法：不斷添加 $S$ -多項式的約化結果直至穩定。

零因子與素理想

在 $R [x]$ 中，零因子與係數環的性質密切相關。若 $R$ 為整環，則 $R [x]$ 無零因子。理想 $P \subset R [x]$ 為素理想若且唯若 $R [x] / P$ 是整環；為極大理想若且唯若商為域。若 $R$ 為域，則極大理想恰為 $(f)$ ，其中 $f$ 為不可約多項式。

例與練習（簡）

- 證明：若 $R$ 為諾特環，則 $R [x]$ 為諾特（提示：利用升鏈條件與係數次數的歸納）。 - 設 $k$ 為域，證明 $k [x, y] / (y^{2} - f (x))$ 的 $k$ -向量空間基可以選作所有 $x^{i} y^{j}$ ，其中 $j \in {0, 1}$ ， $i \geq 0$ ，並給出何時該商為整環的條件。 - 在 $ℚ [x]$ 中用艾森斯坦判別法證明 $x^{5} + 10 x + 5$ 不可約。