交換代數/多項式環與理想

多項式環

給定帶么交換環 $R$ ，其一元多項式環記為 $R[x]$ 。元素是形如 $a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ 的有限和，其中 $a_{i}\in R$ 。加法逐項進行；乘法由分配律與 $x^{i}x^{j}=x^{i+j}$ 給定。若 $R$ 是整環，則 $R[x]$ 亦為整環；若 $R$ 是域，則 $R[x]$ 是主理想整環但不是域（除非常數項域退化）。

常見的嵌入：係數恆等嵌入 $R\hookrightarrow R[x]$ ，把 $a\in R$ 視為常數多項式；對任意環同態 $\varphi :R\to S$ 與元素 $s\in S$ ，存在唯一環同態 $\Phi :R[x]\to S$ 使得 $\Phi |_{R}=\varphi$ 且 $\Phi (x)=s$ ，這體現了 $R[x]$ 關於一個「自由不定元」的泛性質。

變量可增多至 $R[x_{1},\dots ,x_{n}]$ ，其構造迭代進行： $R[x_{1},\dots ,x_{n}]\cong (\cdots (R[x_{1}])[x_{2}]\cdots )[x_{n}]$ 。對任意集合 $X$ ，亦可定義多元多項式環 $R[X]$ 。

理想與生成元

在環 $A$ 中，理想 $I\subseteq A$ 是對加法封閉且對 $A$ 中元素乘法吸收的加法子群。對於 $A=R[x]$ ，若 $S\subseteq R[x]$ ，則 $(S)$ 表示由 $S$ 生成的最小理想；當 $S=\{f_{1},\dots ,f_{m}\}$ 時，也寫作 $(f_{1},\dots ,f_{m})$ 。

若 $R$ 是域，則 $R[x]$ 為主理想整環，任一理想均由單個多項式生成。一般的 $R[x]$ （ $R$ 不必為域）不一定是主理想整環，但仍是諾特環：若 $R$ 是諾特，則 $R[x]$ 也是諾特（希爾伯特基定理）。

商環與評估

對 $R[x]$ 的理想 $I$ ，商環 $R[x]/I$ 通過在等價類上定義加乘得到。典型情形：若 $R$ 為域且 $f(x)\in R[x]$ 非零，則 $R[x]/(f)$ 的元素可由次數小於 $\deg f$ 的多項式代表，且當 $f$ 不可約時該商為域。

對 $a\in R$ ，評估同態 ${\rm {ev}}_{a}:R[x]\to R$ 定義為 ${\rm {ev}}_{a}\!\left(\sum a_{i}x^{i}\right)=\sum a_{i}a^{i}$ 。其核為 $(x-a)$ 若且唯若 $R$ 為整環且 $a$ 屬於使代數等式成立的適當情形；在域上更具體： $\ker({\rm {ev}}_{a})=(x-a)$ 。因此 $R[x]/(x-a)\cong R$ 。

不可約性與因式分解

在域 $k$ 上， $k[x]$ 是歐幾里得環，存在帶餘除法：對任意 $f,g\in k[x]$ （ $g\neq 0$ ），存在唯一 $q,r$ 使 $f=qg+r$ 且 $\deg r<\deg g$ 。因此 $k[x]$ 是主理想整環與唯一分解整環。不可約多項式在 $k[x]$ 中類似質數，任何非常數多項式可唯一（至單位與次序）分解為不可約因子。

常用判別法包括艾森斯坦判別法：若存在質數 $p\in \mathbb {Z}$ 使得 $p$ 整除所有非首項係數、 $p$ 不整除首項係數且 $p^{2}$ 不整除常數項，則該整係數多項式在 $\mathbb {Q} [x]$ 中不可約。

代數與幾何的橋梁

若 $k$ 為代數閉域，則阿芬幾何中把多項式函數的零點集與理想聯繫起來：給定 $I\subseteq k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ ，其零點集 $V(I)$ 是 $k^{n}$ 中同時滿足 $I$ 中全部多項式為零的點集；而對代數集 $X\subseteq k^{n}$ ，定義其消去理想 $I(X)=\{f:f|_{X}\equiv 0\}$ 。強形式的諾特–零點定理敘述了在代數閉域上 $I(V(I))={\sqrt {I}}$ ，其中 ${\sqrt {I}}$ 為 $I$ 的根理想。這一對應把「理想的根性」與「幾何零點」的閉包現象聯繫起來。

主理想整環情形

- 若 $R$ 為域，則：

 *  $R[x]$  为欧几里得环，理想均为  $(f)$  的形式；
 * 对任意  $f,g$ ，存在最大公因子  $\gcd(f,g)$ ，并可由扩展欧几里得算法表为  $af+bg=\gcd(f,g)$ 。

- 若 $R$ 為主理想整環，則 $R[x]$ 一般不再為主理想整環，但仍為唯一分解整環當 $R$ 是UFD時成立，且 $R[x]$ 亦為UFD。

理想運算

給定 $I,J\subseteq R[x]$ ： - 和： $I+J=\{f+g:f\in I,g\in J\}$ ； - 交： $I\cap J$ ； - 積： $IJ=\left\{\sum _{k}f_{k}g_{k}:f_{k}\in I,g_{k}\in J\right\}$ ； - 商： $(I:J)=\{h\in R[x]:hJ\subseteq I\}$ 。

這些運算在代數幾何與消元理論中頻繁出現，例如初等分解、飽和與消元理想的構造。

多元理想與Groebner基

在 $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ 上（ $k$ 為域），選定單項式序（如字典序、分次字典序），每個非零多項式有首項 ${\rm {LT}}(f)$ 。理想 $I$ 的Gröbner基是有限集合 $G\subset I$ ，使得 $\langle {\rm {LT}}(I)\rangle =\langle {\rm {LT}}(G)\rangle$ 。其性質包括： - 提供一套標準形，決定了在商 $k[x]/I$ 中的唯一餘式表示； - 使判定成員關係與理想包含變為算法問題； - 支持消元：若使用消元序， $\;G\cap k[x_{r+1},\dots ,x_{n}]$ 生成消元理想 $I\cap k[x_{r+1},\dots ,x_{n}]$ 。

Buchberger算法給出構造方法：不斷添加 $S$ -多項式的約化結果直至穩定。

零因子與素理想

在 $R[x]$ 中，零因子與係數環的性質密切相關。若 $R$ 為整環，則 $R[x]$ 無零因子。理想 $P\subset R[x]$ 為素理想若且唯若 $R[x]/P$ 是整環；為極大理想若且唯若商為域。若 $R$ 為域，則極大理想恰為 $(f)$ ，其中 $f$ 為不可約多項式。

例與練習（簡）

- 證明：若 $R$ 為諾特環，則 $R[x]$ 為諾特（提示：利用升鏈條件與係數次數的歸納）。 - 設 $k$ 為域，證明 $k[x,y]/(y^{2}-f(x))$ 的 $k$ -向量空間基可以選作所有 $x^{i}y^{j}$ ，其中 $j\in \{0,1\}$ ， $i\geq 0$ ，並給出何時該商為整環的條件。 - 在 $\mathbb {Q} [x]$ 中用艾森斯坦判別法證明 $x^{5}+10x+5$ 不可約。