交換代數/整環與域

整環與域

1. 整環的定義與性質

1.1 整環

設 $R$ 是交換么環。若 $R$ 無零因子且 $R\neq \{0\}$，則稱 $R$ 為整環（integral domain）。

即：對任意 $a,b\in R$，若 $ab=0$，則 $a=0$ 或 $b=0$。

等價刻畫：

1. $R\setminus \{0\}$ 在乘法下封閉

1. 消去律成立：$ac=bc$ 且 $c\neq 0$ 蘊含 $a=b$

1. $R$ 可嵌入其分式域

   

   整環結構示意圖

表1：整環的例子

環	是否整環	理由
$\mathbb {Z}$	是	無零因子
$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, $n$ 合數	否	有零因子
$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$, $p$ 質數	是	實際上是域
$k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$	是	多項式環無零因子
$k[x,y]/(xy)$	否	${\bar {x}}\cdot {\bar {y}}=0$
$\mathbb {Z} [i]$	是	高斯整數無零因子
$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$	是	無零因子但非UFD
$M_{n}(R)$, $n\geq 2$	否	矩陣有零因子

1.2 整環的性質

命題 1.1： 設 $R$ 是整環，則：

1. $R$ 的特徵為 0 或質數

1. $R[x]$ 也是整環

1. $R$ 的商域存在且唯一（在同構意義下）

1. 若 $I$ 是 $R$ 的理想，則 $R/I$ 是整環若且唯若 $I$ 是素理想

表2：整環的特徵

整環	特徵	素子環
$\mathbb {Z}$	0	$\mathbb {Z}$
$\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$	0	$\mathbb {Q}$
$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$	$p$	$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$
$\mathbb {F} _{p}[x]$	$p$	$\mathbb {F} _{p}$
$k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$	${\text{char}}(k)$	$k$
$\mathbb {Z} [i]$	0	$\mathbb {Z}$

1.3 分式域

定理 1.2： 設 $R$ 是整環，則存在域 $K$ 和單同態 $\iota :R\to K$，使得：

1. $K$ 中每個元素可寫成 $\iota (a)/\iota (b)$，其中 $a,b\in R,b\neq 0$

1. $K$ 是滿足上述性質的最小域

稱 $K$ 為 $R$ 的分式域或商域，記作 ${\text{Frac}}(R)$ 或 ${\text{Quot}}(R)$。

分式域構造示意圖

表3：常見整環的分式域

整環 $R$	分式域 ${\text{Frac}}(R)$
$\mathbb {Z}$	$\mathbb {Q}$
$k[x]$	$k(x)$（有理函數域）
$k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$	$k(x_{1},\ldots ,x_{n})$
$\mathbb {Z} [i]$	$\mathbb {Q} [i]$
$\mathbb {R} [x,y]/(x^{2}+y^{2}-1)$	圓的函數域
$\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$	$\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$

2. 域的定義與性質

2.1 域

設 $F$ 是交換么環。若 $F\neq \{0\}$ 且 $F$ 中每個非零元都可逆，則稱 $F$ 為域（field）。

等價刻畫：

1. $F^{*}=F\setminus \{0\}$ 在乘法下成群

1. $F$ 的理想只有 $\{0\}$ 和 $F$

1. $F$ 是整環且有限生成的理想都是主理想

1. 對任意 $a\in F,a\neq 0$，存在 $b\in F$ 使 $ab=1$

表4：域的例子

域	特徵	備註
$\mathbb {Q}$	0	有理數域
$\mathbb {R}$	0	實數域
$\mathbb {C}$	0	複數域，代數閉
$\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$	$p$	質數 $p$
$\mathbb {F} _{p^{n}}$	$p$	有限域，$p^{n}$ 個元素
$k(x)$	${\text{char}}(k)$	有理函數域
$\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$	0	二次擴域
${\overline {\mathbb {Q} }}$	0	代數數域，代數閉

2.2 域的性質

命題 2.1： 設 $F$ 是域，則：

1. $F$ 是整環

1. $F$ 的每個非零同態都是單同態

1. $F$ 上的有限維向量空間都是自由模

1. $F$ 的素理想只有 $\{0\}$

1. $F$ 的極大理想不存在（除非考慮真理想，則無極大理想）

   

   域的理想格

表5：域與整環的比較

性質	整環	域
無零因子	✓	✓
非零元可逆	部分	全部
理想結構	可能複雜	只有 $\{0\},F$
素理想	可能多個	只有 $\{0\}$
極大理想	可能多個	無（真理想中）
分式域	存在	自身
特徵	0 或質數	0 或質數

3. 素理想與極大理想

3.1 素理想

設 $R$ 是交換么環，${\mathfrak {p}}\neq R$ 是 $R$ 的理想。稱 ${\mathfrak {p}}$ 為素理想，如果：

對任意 $a,b\in R$，若 $ab\in {\mathfrak {p}}$，則 $a\in {\mathfrak {p}}$ 或 $b\in {\mathfrak {p}}$。

等價刻畫：

1. $R/{\mathfrak {p}}$ 是整環

1. $R\setminus {\mathfrak {p}}$ 在乘法下封閉

1. 對任意理想 $I,J$，若 $IJ\subseteq {\mathfrak {p}}$，則 $I\subseteq {\mathfrak {p}}$ 或 $J\subseteq {\mathfrak {p}}$

表6：素理想的例子

環	素理想	是否極大
$\mathbb {Z}$	$\{0\},(p)$（$p$ 質數）	$(p)$ 極大
$k[x]$	$\{0\},(f)$（$f$ 不可約）	$(f)$ 極大
$k[x,y]$	$\{0\},(x),(y),(f)$（$f$ 不可約）	$(x),(y),(f)$ 極大
$\mathbb {Z} [x]$	$\{0\},(p),(x),(p,f(x))$	$(p,f(x))$ 可能極大
$k[x,y,z]/(xy-z^{2})$	$\{0\},(x,z),(y,z)$	非極大

3.2 極大理想

設 $R$ 是交換么環，${\mathfrak {m}}\neq R$ 是 $R$ 的理想。稱 ${\mathfrak {m}}$ 為極大理想，如果：

不存在理想 $I$ 使得 ${\mathfrak {m}}\subsetneq I\subsetneq R$。

等價刻畫：

1. $R/{\mathfrak {m}}$ 是域

1. ${\mathfrak {m}}$ 是真理想中包含關係的極大元

1. 對任意 $a\notin {\mathfrak {m}}$，有 ${\mathfrak {m}}+(a)=R$

素理想與極大理想格

表7：極大理想的例子

環	極大理想	商環
$\mathbb {Z}$	$(p)$（$p$ 質數）	$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$（域）
$k[x]$	$(f)$（$f$ 不可約）	$k[x]/(f)$（域）
$\mathbb {R} [x]$	$(x-a)$, $(x^{2}+1)$	$\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$
$k[x,y]$	$(x-a,y-b)$	$k$
$C([0,1])$	$\{f:f(t_{0})=0\}$	$\mathbb {R}$
$\mathbb {Z} [i]$	$(1+i)$, $(p)$（$p\equiv 3{\pmod {4}}$）	$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, $\mathbb {F} _{p^{2}}$

3.3 素理想與極大理想的關係

命題 3.1： 設 $R$ 是交換么環，則：

1. 每個極大理想都是素理想

1. 反之不成立：$\{0\}$ 在整環中是素理想但不一定是極大理想

1. 在主理想整環（PID）中，非零素理想都是極大理想

1. 在 Noether 環中，每個真理想都包含於某個極大理想

表8：素理想與極大理想的性質對比

性質	素理想	極大理想
定義	$ab\in {\mathfrak {p}}\Rightarrow a\in {\mathfrak {p}}$ 或 $b\in {\mathfrak {p}}$	包含關係的極大元
商環	整環	域
包含關係	極大理想 ⊆ 素理想	極大理想是素理想
在 $\mathbb {Z}$ 中	$\{0\},(p)$	$(p)$
在 $k[x,y]$ 中	$\{0\},(f)$	$(x-a,y-b)$, $(f)$ 不可約
幾何意義	不可約閉集	閉點
存在性	任意環可能無素理想	Noether 環必有極大理想

4. 整環的分類

4.1 主理想整環（PID）

整環 $R$ 稱為主理想整環（Principal Ideal Domain, PID），如果 $R$ 的每個理想都是主理想。

例子：

1. $\mathbb {Z}$

1. $k[x]$（$k$ 是域）

1. 歐幾里得整環都是 PID

性質：

1. PID 是 Noether 環

1. PID 是唯一分解整環（UFD）

1. PID 中非零素理想都是極大理想

表9：整環的分類層次

類型	定義	例子	包含關係
域	非零元可逆	$\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$	域 ⊂ 歐幾里得整環
歐幾里得整環	有歐幾里得函數	$\mathbb {Z} ,k[x]$	歐幾里得整環 ⊂ PID
主理想整環（PID）	每個理想主生成	$\mathbb {Z} ,k[x]$	PID ⊂ UFD
唯一分解整環（UFD）	唯一分解性	$k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$	UFD ⊂ GCD整環
GCD整環	任意兩元有最大公因子	$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 不是	GCD整環 ⊂ 整環
整環	無零因子	$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$	整環

4.2 唯一分解整環（UFD）

整環 $R$ 稱為唯一分解整環（Unique Factorization Domain, UFD），如果：

1. 每個非零非單位元都可分解為不可約元的乘積

1. 這種分解在相伴意義下唯一

例子：

1. $\mathbb {Z}$

1. $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$

1. PID 都是 UFD

反例：

1. $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$：$6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$

表10：UFD 的性質

性質	UFD	非 UFD 例子
唯一分解	✓	$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$
不可約元是素元	✓	$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中 2 不可約但非素
$R[x]$ 也是 UFD	✓	$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}][x]$ 非 UFD
主理想性	不一定	$k[x,y]$ 是 UFD 但非 PID
GCD 存在	✓	$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中 GCD 不總存在

4.3 歐幾里得整環

整環 $R$ 稱為歐幾里得整環，如果存在函數 $d:R\setminus \{0\}\to \mathbb {Z} _{\geq 0}$ 使得：

對任意 $a,b\in R,b\neq 0$，存在 $q,r\in R$ 使得：

$a=bq+r$

且 $r=0$ 或 $d(r)<d(b)$。

例子：

1. $\mathbb {Z}$，$d(a)=|a|$

1. $k[x]$，$d(f)=\deg(f)$

1. $\mathbb {Z} [i]$，$d(a+bi)=a^{2}+b^{2}$

表11：歐幾里得整環的例子

環	歐幾里得函數	是否 UFD	是否 PID
$\mathbb {Z}$	$d(a)=|a|$	✓	✓
$k[x]$	$d(f)=\deg(f)$	✓	✓
$\mathbb {Z} [i]$	$d(a+bi)=a^{2}+b^{2}$	✓	✓
$\mathbb {Z} [\omega ]$, $\omega =e^{2\pi i/3}$	$d(a+b\omega )=a^{2}-ab+b^{2}$	✓	✓
$\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]$	$d(a+b{\sqrt {2}})=|a^{2}-2b^{2}|$	✓	✓
$\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$	不存在	✗	✗

5. 商環的整環與域性質

5.1 判別商環是否為整環

定理 5.1： 設 $R$ 是交換么環，$I$ 是 $R$ 的理想，則：

$R/I$ 是整環若且唯若 $I$ 是素理想。

應用：

1. $\mathbb {Z} /(p)$ 是整環若且唯若 $p$ 是質數

1. $k[x]/(f)$ 是整環若且唯若 $f$ 是不可約多項式

1. $k[x,y]/(f)$ 是整環若且唯若 $f$ 是不可約多項式

表12：商環的整環性判別

商環	理想	是否素理想	是否整環
$\mathbb {Z} /(6)$	$(6)$	✗	✗
$\mathbb {Z} /(7)$	$(7)$	✓	✓
$k[x]/(x^{2}-1)$	$(x^{2}-1)$	✗	✗
$k[x]/(x^{2}+1)$	$(x^{2}+1)$	✓（在 $\mathbb {R}$）	✓
$k[x,y]/(xy)$	$(xy)$	✗	✗
$k[x,y]/(y-x^{2})$	$(y-x^{2})$	✓	✓

5.2 判別商環是否為域

定理 5.2： 設 $R$ 是交換么環，$I$ 是 $R$ 的理想，則：

$R/I$ 是域若且唯若 $I$ 是極大理想。

應用：

1. $\mathbb {Z} /(p)$ 是域若且唯若 $p$ 是質數

1. $k[x]/(f)$ 是域若且唯若 $f$ 是不可約多項式

1. $k[x,y]/(x-a,y-b)$ 是域，同構於 $k$

表13：商環的域性判別

商環	理想	是否極大理想	是否域
$\mathbb {Z} /(5)$	$(5)$	✓	✓
$\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$	$(x^{2}+1)$	✓	✓（同構於 $\mathbb {C}$）
$k[x]/(x^{2})$	$(x^{2})$	✗	✗
$k[x,y]/(x,y)$	$(x,y)$	✓	✓（同構於 $k$）
$\mathbb {C} [x,y]/(y-x^{2})$	$(y-x^{2})$	✗	✗（但是整環）