環的基本概念

本節定義環、單位、零因子、整環、域、子環與同態等，並給出常見例子與通用性質。

定義：環 $(R,+,\cdot )$ 是集合 $R$ ，帶加法阿貝爾群結構與乘法半群結構，乘法對加法分配。

交換環：若對所有 $a,b\in R$ 有 $ab=ba$ ，稱為交換環。

含么環：存在乘法單位元 $1_{R}$ 滿足 $1_{R}a=a1_{R}=a$ 。

單位群： $R^{\times }=\{u\in R\mid \exists v\in R,\ uv=1_{R}\}$ ；單位可逆。

零因子： $a\neq 0$ 且存在 $b\neq 0$ 使 $ab=0$ ，則 $a$ 為零因子。

冪零元： $a\neq 0$ 且存在 $n\geq 1$ 使 $a^{n}=0$ 。

整環：無零因子的交換環；消去律成立： $ab=ac,a\neq 0\Rightarrow b=c$ 。

域：每個非零元都可逆的交換環；域必為整環。

子環： $S\subseteq R$ 在加乘下封閉且含 $1$ （若要求含么）則為子環。

理想預告：理想是對被乘吸收的加法子群，是商環的入口。

多項式環： $R[x_{1},\dots ,x_{n}]$ 由不定元與係數組成；繼承 $R$ 的結構。

矩陣環： $M_{n}(R)$ 構成環；通常非交換但在交換代數中常用作例證。

函數環： $R^{X}$ 點態加乘形成環，用於幾何直覺。

環同態： $\varphi :R\to S$ 滿足 $\varphi (1)=1$ 、 $\varphi (a+b)=\varphi (b)+\varphi (a)$ 、 $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$ 。

核與像： $\ker \varphi =\{a\in R\mid \varphi (a)=0\}$ ， $\operatorname {Im} \varphi$ 為像。

基本定理： $R/\ker \varphi \cong \operatorname {Im} \varphi$ ；商與像對應。

可逆性檢測： $a$ 可逆若且唯若存在 $b$ 使 $ab=1$ 。

特徵：最小正整數 $n$ 使 $n\cdot 1_{R}=0$ ，無則特徵 $0$ 。

冪等元： $e^{2}=e$ ；對應直和分解與剩餘分解。

直積環： $R\times S$ 分量運算成環；冪等元 $(1,0)$ 與 $(0,1)$ 。

零環： $0=1$ 的環；所有元素為零。

同構：存在雙射同態且逆也是同態，記 $R\cong S$ 。

同態分解：任意同態因子化為滿射加單射的組合（經商環與包含）。

單位與譜：單位不屬於任何極大理想；與 $\operatorname {Spec} (R)$ 的結構相關。

局部環預告：僅有一個極大理想的環，常記 $(R,{\mathfrak {m}})$ 。

例子： $\mathbb {Z} ,\ \mathbb {Q} ,\ \mathbb {R} [x],\ \mathbb {F} _{p}[x,y],\ \mathbb {C} [x]/(x^{2})$ 。

例子： $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 非 UFD，顯示唯一分解的失敗。

例子：賦值環與冪級數環 $\mathbb {k} [[t]]$ 。

代數閉包背景：極大理想與「點」的對應在代數閉域更乾淨。

環的構造：直和、直積、局部化、商與張量擴張在後續常用。

模的預告：模是環上的「向量空間一般化」，與理想、同態關係密切。

小結：環融合加法群與乘法半群，允許構造理想與商，為交換代數的結構理論搭台。

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