交換代數/集合與映射複習

集合與映射複習

本節回顧集合與映射的核心語法，為交換代數中的同態、核、像、商等概念打基礎。我們記集合為 $X,Y,Z$，映射為 $f:X\to Y$。

定義：函數 $f:X\to Y$ 為規則，將每個 $x\in X$ 指派到唯一的 $f(x)\in Y$。

記號：像與原像。像 $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$；對 $A\subseteq Y$，原像 $f^{-1}(A)=\{x\in X\mid f(x)\in A\}$。

單射：$f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$。

滿射：$\forall y\in Y\,\exists x\in X:\ f(x)=y$。

雙射：既單又滿；存在逆映射 $f^{-1}:Y\to X$。

函數與纖維示意圖

複合：若 $f:X\to Y$ 與 $g:Y\to Z$，則 $g\circ f:X\to Z$。

恆等映射：$\operatorname {id} _{X}(x)=x$。

纖維：對 $y\in Y$，$f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}$。

限制：若 $A\subseteq X$，則 $f|_{A}:A\to Y$。

余限制：若 $B\subseteq Y$ 且 $f(A)\subseteq B$，可看作 $f:A\to B$。

笛卡爾積：$X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}$。

投影：$\pi _{1}(x,y)=x$ 與 $\pi _{2}(x,y)=y$。

圖像（圖）：$\Gamma _{f}=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subseteq X\times Y$。

等價關係：自反、對稱、傳遞的關係 $\sim$；商集 $X/{\sim }$。

分劃：等價類形成對 $X$ 的分劃；反之分劃定義等價關係。

核等價：給定 $f$，定義 $x\sim x'$ 若且唯若 $f(x)=f(x')$；則 $X/{\sim }\cong f(X)$。

置換與群：有限集合的自同構構成對稱群 $S_{n}$。

偏序：集合上的二元關係 $\leq$，滿足自反、反對稱、傳遞。

單調映射：$x\leq x'\Rightarrow f(x)\leq f(x')$；在理想格中常見。

範疇直覺：對象是集合，態射是函數；複合滿足結合律，恆等是單位。

函子直覺：將對象與態射一起「送走」的結構保持過程。

極限與余極限直覺：積、余積、等化子、余等化子在集合範疇均存在。

初等計數：若 $|X|=m,|Y|=n$（有限），函數數目為 $n^{m}$。

單射計數：從 $[m]$ 到 $[n]$ 的單射有 $n(n-1)\cdots (n-m+1)$（$n\geq m$）。

雙射計數：當 $m=n$ 時為 $n!$。

纖維分解：有限情形下 $|X|=\sum _{y\in f(X)}|f^{-1}(y)|$。

像與原像關係示意

原像像關係：$A\subseteq X$ 則 $A\subseteq f^{-1}(f(A))$。

像原像關係：$B\subseteq Y$ 則 $f(f^{-1}(B))\subseteq B$。

結構保持：後續的環同態、模同態都是「保結構的函數」。

直積的通用性質：給定到 $X$ 和 $Y$ 的態射，存在唯一到 $X\times Y$ 的態射。

商的通用性質：給定把等價類合併的映射，唯一因子化經商集。

子集與指示函數：$\chi _{A}:X\to \{0,1\}$ 描述集合 $A$。

特徵函數運算：交並補對應點態乘加與取反。

函數集：$Y^{X}$ 是從 $X$ 到 $Y$ 的所有函數集合。

二元關係作為子集：$R\subseteq X\times X$；合成與逆是集合操作。

纖維積直覺：集合上的纖維積是拉回方塊，對應「同時滿足兩條件」的元集合。

映射的像-核圖：核刻畫等價類，像刻畫可達元素。

端與余端（極簡術語）：常值映射與常元對象在範疇語言中有端的類比。

選擇函數：從每個非空子集選一個元素，關聯選擇公理的直覺但本頁不深入。

指數對象：函數集 $Y^{X}$ 的直覺為「以 $X$ 為索引的 $Y$ 的族」。

結束語：集合與映射的語法將貫穿交換代數的同態、核、像與商構造。

總表

主題	定義/公式	直覺
像	$f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$	可達元素集合
原像	$f^{-1}(A)=\{x\mid f(x)\in A\}$	使像落入 A 的點
單射	$f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$	無碰撞

主題	條件	結論
滿射	$\forall y\in Y\ \exists x\in X:f(x)=y$	全覆蓋
雙射	單且滿	存在逆映射
複合	$g\circ f$	過程串聯

結構	描述	例子
積	$X\times Y$	有序對集合
投影	$\pi _{1},\pi _{2}$	取分量
圖	$\Gamma _{f}$	函數圖像

關係	性質	商集
等價關係	自反、對稱、傳遞	$X/{\sim }$
分劃	等價類集合	反向定義關係
核等價	$f(x)=f(x')$	類與像對應

積與投影的通用性質

計數對象	公式	適用
函數數目	$n^{m}$	$|X|=m,|Y|=n$
單射數目	$n(n-1)\cdots (n-m+1)$	$n\geq m$
雙射數目	$n!$	$m=n$

包含關係	公式	說明
原像像	$A\subseteq f^{-1}(f(A))$	信息不增
像原像	$f(f^{-1}(B))\subseteq B$	保守性
纖維分解	$|X|=\sum |f^{-1}(y)|$	有限分解

範疇術語	對象/態射	通用性質
積	對象對與投影	唯一態射
余積	並與注入	唯一態射
等化子	使兩映射相等	拉回

函數環視角	定義	直覺
函數環	點態加乘	幾何化
指示函數	$\chi _{A}$	邏輯到代數
指數對象	$Y^{X}$	家族