代數/本書課文/求和/多項式公比求和

多項式公比求和，多項式$p(k)$乘上等比數列$q^{k-1}$的求和，即$\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}$

公比q等於1時就只是多項式求和。

特殊情況

當$p(k)=1$時，是等比數列求和：$\sum _{k=1}^n{q}^{k-1}=\frac{q^n-1}{q-1}$

當多項式$p(k)$為等差數列時，即一次多項式時，是差比數列求和：$\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]r^{k-1}=[\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}]r^n-[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1{)}^2}]$

求和方法

錯位相減法

書架

自然科學 - 數學 - 生物學 - 工程學 - 計算機科學 - 醫學 - 體育 人文科學 - 哲學 - 藝術 - 文學 - 語言 - 歷史 - 社會科學 - 商業與經濟學 - 雜項

設$S_n=\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}$，乘上公比得到$q{S}_n=\sum _{k=1}^{n}p(k)q^k$

$(1-q)S_n=\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}-\sum _{k=1}^{n}p(k)q^k$

每一次錯位相減會對多項式進行一次差分，一個m階多項式進行差分後是m-1階多項式，所以可以在有限步內用錯位相減法求出多項式公比求和。

逐項求導

書架

自然科學 - 數學 - 生物學 - 工程學 - 計算機科學 - 醫學 - 體育 人文科學 - 哲學 - 藝術 - 文學 - 語言 - 歷史 - 社會科學 - 商業與經濟學 - 雜項

設$S(n,m)=\sum _{k=1}^n{k}^m{q}^{k-1},S(n,0)=\frac{q^n-1}{q-1}$

兩邊對q求導：$\frac{d[qS(n,m)]}{dq}=\sum _{k=1}^n{k}^{m+1}{q}^{k-1}=S(n,m+1)$

由此可以遞推出m階多項式的多項式公比求和。

裂項法

書架

自然科學 - 數學 - 生物學 - 工程學 - 計算機科學 - 醫學 - 體育 人文科學 - 哲學 - 藝術 - 文學 - 語言 - 歷史 - 社會科學 - 商業與經濟學 - 雜項

對數列做裂項：$p(k)q^{k-1}=f(k)q^k-f(k-1)q^{k-1}$

其中若$p(k)$是m階多項式，則$f(k)$是m階多項式，$f(k)$用待定係數法求出來。

差分算子公式

$\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}=f(n)q^n-f(0),f(n)=\frac{p(n)}{q-1}+\frac{1}{(q-1{)}^2}\sum _{k=1}^m\frac{(-1{)}^k{q}^{k-1}}{(q-1{)}^{k-1}}{\Delta }^k(p(n))=\frac{1}{q-1}\sum _{k=0}^m(\frac{-q}{q-1}{)}^k{\Delta }^{k}p(n+1)$

其中$\Delta p(n)=p(n+1)-p(n),m=deg(p(k))$

書架

自然科學 - 數學 - 生物學 - 工程學 - 計算機科學 - 醫學 - 體育 人文科學 - 哲學 - 藝術 - 文學 - 語言 - 歷史 - 社會科學 - 商業與經濟學 - 雜項

無窮級數

級數$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}p(k)q^{k-1}$在$|q|<1$時是收斂的。

多重對數函數

${\mathrm{Li}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}.$

所以這個級數可以表達成多重對數函數：$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^m{z}^k={\mathrm{Li}}_{-m}(z)$

等比級數

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots$

兩邊逐項求導，得到：$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2},|x|<1.$

求m次導，得到：$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n^m{x}^{n-m}=\frac{m!}{(1-x{)}^{m+1}},|x|<1.$