初中數學（香港課程）/多項式的運算/3

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計算解析失败 (语法错误): {\displaystyle (1+2)+(3+4)</math< # <math>1+2+3+4} 推斷結論計算 $(3 + 4) - (1 + 2)$ $3 + 4 - 1 - 2$ 推斷結論

我們可以將兩個多項式加減。進行加法時，可直接移除括號；進行減法時，需先負號分配。

示範例子1

化簡下列多項式

解：

$\begin{matrix} (9 + 5 r) - (7 - 8 r) & = 9 + 5 r - 7 - 8 r \\ = 2 - 3 r \end{matrix}$
$\begin{matrix} (4 h^{2} - 6 h) + (3 h^{2} + 7 h) & = 4 h^{2} - 6 h + 3 h^{2} + 7 h \\ = 7 h^{2} + h \end{matrix}$

同類習題1

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示範例子2

解：

$\begin{matrix} (7 m^{3} + 4 m^{2} - m) + (5 m + 6 m^{2} + 2 m^{3}) & = 7 m^{3} + 4 m^{2} - m + 5 m + 6 m^{2} + 2 m^{3} \\ = 9 m^{3} + 10 m^{2} + 5 m \end{matrix}$

$\begin{matrix} (9 b - b^{2} + 1) - (4 + 8 b^{2} - 3 b) & = 9 b - b^{2} + 1 - 4 - 8 b^{2} + 3 b \\ = 12 b - 9 b^{2} - 3 \\ = - 9 b^{2} + 12 b - 3 \end{matrix}$

同類習題2

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示範例子2

化簡 $(5 c^{2} + 9 d^{2}) - (8 c^{2} + 3 c d - 4 d^{2}) + (6 d^{2} - 7 c d + c^{2})$

$\begin{matrix} (4 c^{2} + 9 d^{2}) - (6 c^{2} + 7 c d - 5 d^{2}) + (6 d^{2} - 3 c d + c^{2}) & = 4 c^{2} + 9 d^{2} - 6 c^{2} - 7 c d + 5 d^{2} + 6 d^{2} + 3 c d - c^{2} \\ = \end{matrix}$

同類習題2

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使用乘法分配性質移除括號的過程稱作展開。

將多項式乘以單項式只需移除一次括號

示範例子1

展開並化簡

解：

$6 z (z - 1) = 6 z \cdot z - 6 z \cdot 1 = 6 z^{2} - 6 z$
$5 (v^{2} - 3 v + 4) = 5 v^{2} - 15 v + 20$
$- l^{2} (8 l^{3} + 9 l - 7) = - l^{2} \cdot 8 l^{3} - l^{2} \cdot 9 l + 7 l^{2} = 7 l^{2} - 9 l^{3} - 8 l^{5}$

同類習題1

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使用多次分配律可以乘上兩條多項式

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試考慮一個長方形，長在點A分為a和b兩段，闊在點B分為c和d兩段，從A點和B點分割出四個長方形求大長方形的長和闊，並求大長方形的面積（代數式表示）使用拼接法，先求各小長方形的面積，再求大長方形的面積

試考慮 $(a + b) (c + d)$ :

設 $A = a + b$ $\begin{matrix} (a + b) (c + d) & = A (c + d) \\ = A c + A d \\ = (a + b) c + (a + b) d \\ = a c + b c + a d + b d \end{matrix}$

示範例子2

展開並化簡

解：

$\begin{matrix} (y + 6) (y + 5) & = y \cdot y + y \cdot 5 + 6 \cdot y + 6 \cdot 5 \\ = y^{2} + 6 y + 5 y + 30 = y^{2} + 11 y + 30 \end{matrix}$
$\begin{matrix} (3 p + 7 q) (p - 4 q) & = 3 p^{2} - 12 p q + 7 q p - 28 q^{2} \\ = 3 p^{2} - 5 p q - 28 q^{2} \end{matrix}$
$\begin{matrix} (t^{2} + 9) (t^{2} - 8 t + 1) & = t^{4} - 8 t^{3} + t^{2} + 9 t^{2} - 72 t + 9 \\ = t^{4} - 8 t^{3} + 10 t^{2} - 72 t + 9 \end{matrix}$

替代解：

$\begin{matrix} (y + 6) (y + 5) & = y (y + 6) + 5 (y + 6) \\ = y^{2} + 6 y + 5 y + 30 = y^{2} + 11 y + 30 \end{matrix}$

$\begin{matrix} (3 p + 7 q) (p - 4 q) & = p (3 p + 7 q) - 4 q (3 p + 7 q) \\ = 3 p^{2} + 7 p q - 12 p q - 28 q^{2} = 3 p^{2} - 5 p q - 28 q^{2} \end{matrix}$

$\begin{matrix} (t^{2} + 9) (t^{2} - 8 t + 1) & = t^{2} (t^{2} - 8 t + 1) + 9 (t^{2} - 8 t + 1) \\ = t^{4} - 8 t^{3} + t^{2} + 9 t^{2} - 72 t + 9 \\ = t^{4} - 8 t^{3} + 10 t^{2} - 72 t + 9 \end{matrix}$

同類習題2

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