初中數學（香港課程）/畢氏定理/2

兩個成立的條件和所得的結果相反的幾何定理互為逆定理（英：Converse）

畢氏定理的逆定理（簡寫：逆畢氏定理）指明：

• （假設兩邊a和b與最長的邊c）

如果較短的兩邊平方和相等最長邊的平方（$a^{2}+b^{2}=c^{2}$），該三角形是一個直角三角形

• 其中，直角是較短的兩邊的夾角
• 如果$a^{2}+b^{2}\neq c^{2}$，該三角形不是一個直角三角形。

示範例子1 判斷下列的三角形是否直角三角形，試解䆁。如是，寫出直角的位置。 $\Delta MNO$中，$MO=ON=2{\sqrt {2}}$ cm和$MN=4$ cm $\Delta PQR$中，$PQ=5$ cm、$QR=6$ cm和$PR=7$ cm 解 ${\begin{aligned}MO^{2}+ON^{2}&=(2{\sqrt {2}})^{2}+(2{\sqrt {2}})^{2}\\&=16\end{aligned}}$ $MN^{2}=4^{2}=16$ $\because MO^{2}+NO^{2}=MN^{2}$ $\therefore \Delta MNO$ 是一個三角形，其中$\angle MON=90^{\circ }$（逆畢氏定理） ${\begin{aligned}PQ^{2}+QR^{2}&=5^{2}+6^{2}\\&=61\end{aligned}}$ $PR^{2}=7^{2}=49$ $\because PQ^{2}+QR^{2}\neq PR^{2}$ $\therefore \Delta PQR$ 並不是一個三角形

同類習題1 {{{3}}}

示範例子2 在$\Delta WXY$和$\Delta XYZ$中，直線XYZ組成了$\Delta WXz$。 已知$WY=12$ cm、$XY=3.5$ cm、$WX=12.5$ cm和$WZ=15$ cm。 證明$\Delta WXY$是直角三角形 求$\Delta WXZ$的面積 解 ${\begin{aligned}WY^{2}+XY^{2}&=12^{2}+3.5^{2}\\&=156.25\end{aligned}}$ $WX^{2}=12.5^{2}=156.25$ $\because WY^{2}+XY^{2}=WX^{2}$ $\therefore \Delta WXY$ 是一個三角形（逆畢氏定理） ${\begin{aligned}YZ^{2}+12^{2}&=15^{2}\\YZ^{2}&=81\\YZ&=9\end{aligned}}$ ${\frac {12(3.5+9)}{2}}=75$ $\therefore \Delta WXZ$的面積是$75\ {\text{cm}}^{2}$

同類習題2 {{{3}}}

應用題

示範例子3 兩條分別為$20$ cm和$21$ cm長的繩把一塊長$29$ cm的長方形招牌，兩邊綁在天花板的同一點 解釋兩條繩是垂直的 如果用一條垂直於招牌的繩綁在同一點，求該繩的長度（取三位有效數字） 解 設兩條繩分別為AB和AC ${\begin{aligned}AB^{2}+AC^{2}&=20^{2}+21^{2}\\&=841\end{aligned}}$ $BC^{2}=29^{2}=841$ $\because AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$ $\therefore \Delta ABC$是直角三角形 $\therefore$ 兩條繩互相垂直 設D使$AD\perp BC$ ${\frac {20\cdot 21}{2}}=210$ $\Delta ABC$的面積是210 cm2 ${\begin{aligned}{\frac {29AD}{2}}&=210\\29AD&=420\\AD&=14.5\end{aligned}}$

同類習題3 {{{3}}}

示範例子4 試考慮長方形紙張ABCD中，$AB=8$、$AD=40$。如果把紙張沿EF摺起，使B、D重疊，求$\Delta AEB$的面積。 ${\begin{aligned}AE+ED&=40\\ED&=40-AE\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}8^{2}+AE^{2}&=(40-AE)^{2}\\64+AE^{2}&=1\ 600-80AE+AE^{2}\\80AE&=1\ 536\\AE&=19.2\end{aligned}}$ ${\frac {8\cdot 19.2}{2}}=76.8$

同類習題4 {{{3}}}