初中數學（香港課程）/角的定理/3

三角形內角和

三角形三隻內角的總和是180°（簡寫：$\Delta$內$\angle$和）

證明：考慮三角形$\Delta XYZ$，$\angle Y=p$、$\angle YXZ=q$和$\angle Z=r$。

作一條線VW，穿過點X且$VW\ //\ YZ$

$\angle VXY=p$（內錯$\angle$）

$\angle WXZ=r$（內錯$\angle$）

$p+q+r=180^{\circ }$（直線上的鄰$\angle$）

示範例子1 如果$\Delta PQR$中，$\angle P=18^{\circ }$、$\angle Q=90^{\circ }$和$\angle R=w$，求w 解 ${\begin{aligned}w+18^{\circ }+90^{\circ }&=180^{\circ }\\w&=72^{\circ }\end{aligned}}$（$\Delta$內$\angle$和）

同類習題1 {{{3}}}

示範例子2 給定BDC為一直線。假設$\Delta ABC$和$\Delta ADB$中，$\angle A=72^{\circ }$、$\angle DBC=45^{\circ }$、$\angle C=22.5^{\circ }$、$\angle ABD=m$和$\angle ADB=n$。求m和n 解 ${\begin{aligned}72^{\circ }+m+45^{\circ }+22.5^{\circ }&=180^{\circ }\\m&=40.5^{\circ }\end{aligned}}$（$\Delta$內$\angle$和） ${\begin{aligned}40.5^{\circ }+n+72^{\circ }&=180^{\circ }\\n&=67.5^{\circ }\end{aligned}}$（$\Delta$內$\angle$和）

同類習題2 {{{3}}}

示範例子3 給定直線UWV、$\Delta WXY$和YZ中，$\angle UWX=67.5^{\circ }$、$\angle VWY=30^{\circ }$、$\angle XYZ=126^{\circ }$、$\angle WYZ=105^{\circ }$，求$\angle X$。 解 ${\begin{aligned}67.5^{\circ }+\angle XWY+30^{\circ }&=180^{\circ }\\\angle XWY&=82.5^{\circ }\end{aligned}}$（直線上的鄰$\angle$） ${\begin{aligned}126^{\circ }+165^{\circ }+\angle XYW&=360^{\circ }\\\angle XWY&=69^{\circ }\end{aligned}}$（同頂$\angle$） ${\begin{aligned}82.5^{\circ }+69^{\circ }+\angle X&=180^{\circ }\\\angle XWY&=28.5^{\circ }\end{aligned}}$（$\Delta$內$\angle$和）

同類習題3 {{{3}}}

三角形外角

以平面圖形的一邊的延伸線，以及另一邊形成的角稱為該圖形的外角

• 三角形中的外角會和相鄰的內角為鄰角，並於同一直線上

考慮三角形有內角a、b和c，以及與c相鄰的外角d

$a+b+c=180^{\circ }$（$\Delta$內$\angle$和）

$d+c=180^{\circ }$（直線上的鄰$\angle$）

${\begin{aligned}a+b+c&=d+c\\a+b{\cancel {+c}}\color {red}{\cancel {-c}}&=d{\cancel {+c}}\color {red}{\cancel {-c}}\\a+b&=d\end{aligned}}$

三角形的外角相等於不相鄰的兩隻內角總和（簡寫：$\Delta$的外$\angle$）

示範例子4 $\Delta LMN$和直線MNO中，$\angle M=k$、$\angle L=k+60^{\circ }$和$\angle LNO=4k$，求k。 解 ${\begin{aligned}k+k+60^{\circ }&=4k\\60^{\circ }&=2k\\k&=30^{\circ }\end{aligned}}$（$\Delta$外$\angle$）

同類習題4 {{{3}}}