# 初中數學/根號

### 基本說明

• a代表某數，${\displaystyle {\sqrt {a}}}$是什麼意思呢？就是${\displaystyle {\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}=a}$，變成規則就有：
1. 根號a乘以根號a等於a，${\displaystyle {\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}=a}$
2. 根號a平方等於a，${\displaystyle {\sqrt {a}}^{2}=a}$
3. 根號a的平方等於a，${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=a}$
4. a等於根號a乘以根號a，也等於根號a平方，再等於根號a的平方，${\displaystyle a={\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}={\sqrt {a}}^{2}={\sqrt {a^{2}}}}$
5. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$為例，以下四個數均相等：${\displaystyle 2={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}={\sqrt {2^{2}}}}$
• 根號這種運算，乘、除可以拆離、合併，加、減不能拆離、合併。即：${\displaystyle {\sqrt {a*b}}={\sqrt {a}}*{\sqrt {b}}}$${\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}$${\displaystyle {\sqrt {a+b}}\neq {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}$${\displaystyle {\sqrt {a-b}}\neq {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}$
1. 以4和1為例，${\displaystyle {\sqrt {4*1}}={\sqrt {4}}*{\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{1}}}={\frac {\sqrt {4}}{\sqrt {1}}}}$${\displaystyle {\sqrt {4+1}}\neq {\sqrt {4}}+{\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {4-1}}\neq {\sqrt {4}}-{\sqrt {1}}}$

## 由基本練習理解根號

### 一、平方，求下列各數的值：

12=　　22=　　32=　　42=　　52=　　62=　　72=　　82=　　92=　　102=　　112=　　122=　　0.72=　　(1.2)2=　　${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=}$　　${\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}=}$　　 ${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{2}=}$

### 二、根號(開方)，求下列各數的值：

#### (一)、從${\displaystyle {\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}}$開始

${\displaystyle {\sqrt {1}}*{\sqrt {1}}}$=　${\displaystyle {\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}}$=　${\displaystyle {\sqrt {3}}*{\sqrt {3}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {4}}*{\sqrt {4}}}$=　${\displaystyle {\sqrt {5}}*{\sqrt {5}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {6}}*{\sqrt {6}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {7}}*{\sqrt {7}}}$=　 ${\displaystyle {\sqrt {8}}*{\sqrt {8}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {9}}*{\sqrt {9}}}$=　${\displaystyle {\sqrt {10}}*{\sqrt {10}}}$=

#### (二)、從${\displaystyle {\sqrt {a}}^{2}}$開始

${\displaystyle {\sqrt {1}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {2}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {3}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {4}}^{2}}$= 　${\displaystyle {\sqrt {5}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {6}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {7}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {8}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {9}}^{2}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {10}}^{2}}$=

#### (三)、從 a 開始

1=1　　2=4　　3=9　　4=16　　5=25　　6=36　　7=49　　8=64　　9=81　　10=100

#### (四)、從${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}}$開始

${\displaystyle {\sqrt {1^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {2^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {3^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {4^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {5^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {6^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {7^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {8^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {9^{2}}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {10^{2}}}}$=

#### (五)、從${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}}$開始

${\displaystyle {\sqrt {1}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {4}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {9}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {16}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {25}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {36}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {49}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {64}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {81}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {100}}}$=　　${\displaystyle {\sqrt {169}}}$=

### 四、根號求值

• ${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
1. 作短股 1 公分、長股 1 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：12+12=c2，所以c2=2，c=${\displaystyle {\sqrt {2}}}$(參見第二段)
2. 用尺量，${\displaystyle {\sqrt {2}}}$約等於 1.4 公分。
3. 由於${\displaystyle {\sqrt {2}}^{2}=2}$，所以一位一位求下去，可以得${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的近似值為 1.414
• ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
1. 作短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：12+b2=22，所以b2=3，b=${\displaystyle {\sqrt {3}}}$(參見第二段)
2. 用尺量，${\displaystyle {\sqrt {3}}}$約等於 1.7 公分。
3. 由於${\displaystyle {\sqrt {3}}^{2}=3}$，所以一位一位求下去，可以得${\displaystyle {\sqrt {3}}}$的近似值為 1.732
• ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$
• ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$
1. 作短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：12+22=c2，所以c2=5，c=${\displaystyle {\sqrt {5}}}$(參見第二段)
2. 用尺量，${\displaystyle {\sqrt {5}}}$約等於 2.2 公分。
3. 由於${\displaystyle {\sqrt {5}}^{2}=5}$，所以一位一位求下去，可以得${\displaystyle {\sqrt {5}}}$的近似值為 2.236
4. 也可以作短股 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 公分、長股 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：${\displaystyle {\sqrt {2}}^{2}+{\sqrt {3}}^{2}=c^{2}}$，所以c2=5，c=${\displaystyle {\sqrt {5}}}$(參見第二段)
5. 也可以作短股 2 公分、長股 b 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，依畢氏定理：22+b2=32，所以b2=5，b=${\displaystyle {\sqrt {5}}}$(參見第二段)
• ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$
1. ${\displaystyle {\sqrt {6}}={\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}}$，不信的話你兩邊都給它平方，看會不會相等：
• 左邊平方${\displaystyle {\sqrt {6}}^{2}=6=2*3={\sqrt {2}}^{2}*{\sqrt {3}}^{2}={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}*{\sqrt {3}}}$
• 右邊平方${\displaystyle \left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)^{2}=\left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)*\left({\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}\right)={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {3}}*{\sqrt {3}}}$
2. 以短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為${\displaystyle {\sqrt {5}}}$；再作短股 1 公分長股${\displaystyle {\sqrt {5}}}$公分的直角三角形，斜邊為${\displaystyle {\sqrt {6}}}$
3. 第一種求近似值的方法，量${\displaystyle {\sqrt {6}}}$約為 2.4 ，再利用${\displaystyle {\sqrt {6}}^{2}=6}$，求得近似值 2.449 。
4. 第二種求近似值的方法，直接拿 1.414(${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的近似值) 乘以 1.732(${\displaystyle {\sqrt {3}}}$的近似值) ，即得 2.449 (${\displaystyle {\sqrt {6}}}$的近似值) 。
5. 對根號來說，乘法可以拆離、合併，加法不能拆離、合併。
• ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$
1. 以短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為${\displaystyle {\sqrt {3}}}$；再作短股 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ 公分長股 2 公分的直角三角形，斜邊為${\displaystyle {\sqrt {7}}}$
2. 求近似值的方法，量${\displaystyle {\sqrt {7}}}$約為 2.6 ，再利用${\displaystyle {\sqrt {7}}^{2}=7}$，求得近似值 2.646 。
• ${\displaystyle {\sqrt {8}}}$
1. 作圖方法一：作短股 2 公分、長股 2 公分、斜邊 c 公分的直角三角形，依畢氏定理：22+22=c2，所以c2=8，c=${\displaystyle {\sqrt {8}}}$(參見第二段)
2. 作圖方法二：作短股 1 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：12+b2=32，所以b2=8，b=${\displaystyle {\sqrt {8}}}$(參見第二段)
3. 第一種求近似值的方法，量${\displaystyle {\sqrt {8}}}$約為 2.8 ，再利用${\displaystyle {\sqrt {8}}^{2}=8}$，求得近似值 2.828 。
4. 第二種求近似值的方法，${\displaystyle {\sqrt {8}}={\sqrt {2*2*2}}={\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}=2*{\sqrt {2}}}$直接拿 2 乘以 1.414(${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的近似值)，即得 2.828 (${\displaystyle {\sqrt {8}}}$的近似值) 。
• ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$
• ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$
1. 作短股 1 公分、長股 3 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：12+32=c2，所以c2=10，c=${\displaystyle {\sqrt {10}}}$(參見第二段)
2. 用尺量，${\displaystyle {\sqrt {10}}}$約等於 3.2 公分。
3. 由於${\displaystyle {\sqrt {10}}^{2}=10}$，所以一位一位求下去，可以得${\displaystyle {\sqrt {10}}}$的近似值為 3.162