開方

維基教科書,自由的教學讀本
跳至導覽 跳至搜尋

開方是乘法的逆運算,是第5種算法,現在一般都是藉助計算機計算。以前是利用牛頓二項式定理開方,現在有開平方公式和開立方公式。 參考文獻:【數學傳播】136期,從牛頓二項式定理開方到牛頓切線法

求方根公式[編輯]

=

開立方公式[編輯]

 

  例如,A=5,k=3,即求:

   5介於之間(1的3次方=1,2的3次方=8)

  初始值可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,2.0都可以。例如我們取按照公式:

  第一步:=1.75。輸入值大於輸出值,負反饋;

即5/2×2=1.25,1.25-2=-0.75,-0.75×1/3=-0.25,2+(-0.25)=1.75,比前面多取一位數。即取2位數值,即1.7。

  第二步:=1.71.輸入值小於輸出值,正反饋。

即5/1.7×1.7=1.73010,1.7301-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,1.7+0.01=1.71。取3位數,比前面多取一位數。

  第三步:=1.709.

  第四步:=1.7099

  這種方法可以自動調節,第一步與第三步取值偏大,但是計算出來以後輸出值會自動轉小;第二步,第四步輸入值

偏小,輸出值自動轉大。即.

  當然初始值也可以取1.1,1.2,1.3,。。。1.8,1.9中的任何一個,都是。當然,我們在實際中初始值最好採用中間值,即1.5。=1.7。


開平方公式[編輯]

如果用這個公式開平方,只需將改成,1/3改成1/2。即

例如,A=5:

5介於之間。我們取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我們最好取

中間值2.5。

第一步:=2.2;

即5/2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5×1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位數2.2。

第二步:=2.23; 即5/2.2=2.272727,2.272727-2.2=-0.072727,-0.072727×1/2=-0.036363,2.2+0.036363=2.23。取3位數。

第三步:=2.236;

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位數。計算次數與計算精確度成為正比。這個方法又叫反饋開方,即使你輸入一個錯誤的數值,也沒有關係,輸出值會自動調節,接近準確值。

這個方法的依據是根據牛頓切線法得來。也可以通過牛頓二項式定理推出。