數理統計/區間估計

數理統計/區間估計

學習目標

目標項	內容
區間估計概念	置信區間、置信水平、樞軸量
常見參數	均值、方差、比例與兩樣本差
方法選擇	正態/t/卡方/F 及大樣本近似

側重能力	說明
構造樞軸量	用分布不含未知參數的統計量
選用分位點	結合樣本量與分布假設
報告規範	區間+置信度+前提條件

常見誤區	對策
將置信度當作參數真值機率	強調長期覆蓋率含義
忽視正態性/獨立性假設	明確條件或改用穩健/近似
盲目雙側	按問題需求選單側或雙側

基本概念

置信區間

對參數 $\theta$ 給出隨機區間 $[L(X),U(X)]$，使 $P_{\theta }\{L(X)\le \theta \le U(X)\}=1-\alpha$。

樞軸量

找到與 $\theta$ 無關分布的 $Q(X,\theta )$，用其分位點反解獲得區間。

元素	記號	含義
置信水平	$1-\alpha$	長期覆蓋率
下上限	$L(X),U(X)$	由樣本計算
樞軸量	$Q(X,\theta )$	已知分布

置信度	雙側分位點（示例）	備註
90%	$z_{0.95},t_{n-1,0.95}$	大樣本或t
95%	$z_{0.975},t_{n-1,0.975}$	常用標準
99%	$z_{0.995},t_{n-1,0.995}$	更寬

輸出要素	規範寫法	注意
區間	$[L,U]$	單位/精度
置信水平	例如 95%	明前提
方法說明	正態/t/卡方/F/近似	列出假設

單總體均值的區間

方差已知（正態）

$\overline{X}\sim 𝒩(\mu ,{\sigma }^2/n)$，$Z=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$。

$\mu$ 的 $1-\alpha$ 區間：$[\overline{X}-z_{1-\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{1-\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}]$。

方差未知（正態）

$T=\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}$。

區間：$[\overline{X}-t_{n-1,1-\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{n-1,1-\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}}]$。

情形	樞軸量	區間
${\sigma }^2$ 已知	$Z$	基於 $z$ 分位
${\sigma }^2$ 未知	$T$	基於 $t$ 分位

單總體方差的區間（正態）

$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2$。

${\sigma }^2$ 的 $1-\alpha$ 區間：

$[\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{n-1,1-\alpha /2}^2},\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{n-1,\alpha /2}^2}]$。

參數	樞軸量	分布	備註
${\sigma }^2$	$(n-1)S^2/{\sigma }^2$	${\chi }_{n-1}^2$	正態前提

單總體比例的區間

正態近似

$\hat{p}=Y/n$，當 $n\hat{p}(1-\hat{p})$ 足夠大：

$[\hat{p}-z_{1-\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\hat{p}+z_{1-\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}]$。

Wilson 區間（改進近似）

$\frac{\hat{p}+\frac{z^2}{2n}\pm z\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}+\frac{z^2}{4n^2}}}{1+\frac{z^2}{n}}$，其中 $z=z_{1-\alpha /2}$。

方法	區間寬度	覆蓋表現
正態近似	較簡單	極端比例時偏差大
Wilson	略複雜	覆蓋更穩健

兩總體比較

兩均值差（方差未知，正態且獨立）

方差相等時用合併方差 t；方差不等時用不等方差 t（自由度近似）。

兩比例差（大樣本）

$\hat{d}={\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2$，區間近似：

$\hat{d}\pm z_{1-\alpha /2}\sqrt{\frac{{\hat{p}}_1(1-{\hat{p}}_1)}{n_1}+\frac{{\hat{p}}_2(1-{\hat{p}}_2)}{n_2}}$。

目標	條件	提示
均值差	正態/大樣本；獨立	方差是否相等需判定
比例差	樣本量適中偏大	也可用改進近似

單側區間

需要給出下限或上限形式，例如 $(-\mathrm{\infty },U]$ 或 $[L,\mathrm{\infty })$，分位點改用單側。

目標	單側形式	說明
均值上限	$\overline{X}+z_{1-\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$	控制超標風險
比例下限	Wilson 單側	更穩健

章節測驗

單選題一

下列哪項陳述正確？

1. 95%置信區間表示參數有95%的機率落入本次區間
2. 95%置信區間表示構造方法的長期覆蓋率為95%
3. 95%置信區間一定比90%更窄
4. 置信區間不依賴樣本量

顯示答案/解析

答案：2。置信度是方法的長期覆蓋率；區間寬度受置信度與樣本量影響。

單選題二

當總體正態且方差未知時估計均值，適合使用：

1. z 區間
2. t 區間
3. 卡方區間
4. F 區間

顯示答案/解析

答案：2。

計算題

某樣本 $n=100$，$\overline{X}=10$，$S=2$，求均值的95%區間（用 z 近似）。

顯示答案/解析

解：$10\pm 1.96\times 2/\sqrt{100}=10\pm 0.392$，即 $[9.608,10.392]$。

跨章導航

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