數理統計/非參數方法

數理統計/非參數方法

學習目標

目標項	內容
分布自由方法	秩檢驗、符號檢驗
密度/分布估計	核密度、經驗分布函數
平滑與頻寬	交叉驗證與偏差-方差權衡

能力要點	說明
選擇核與頻寬	常用核、Silverman法則、CV
實施秩檢驗	Wilcoxon、Mann–Whitney
評估誤差	MISE 與點態誤差

經驗分布與核密度

經驗分布 $F_{n}(x)={\tfrac {1}{n}}\sum \mathbf {1} \{X_{i}\leq x\}$；核密度 ${\hat {f}}_{h}(x)={\tfrac {1}{nh}}\sum K\!\left({\tfrac {x-X_{i}}{h}}\right)$。

元素	公式	備註
常用核	高斯、Epanechnikov、均勻	性能差異次於頻寬
頻寬	$h$	控制平滑度
選擇	規則/交叉驗證	實務關鍵

非參數檢驗

一樣本符號檢驗、Wilcoxon符號秩檢驗、兩獨立樣本Mann–Whitney檢驗等。

目的	方法	條件
中位數比較	符號檢驗	對稱假設弱
配對位置差	Wilcoxon符號秩	對稱分布
兩總體位置	Mann–Whitney	獨立同分布

平滑與誤差權衡

頻寬越大偏差增、方差降；反之亦然。選擇以最小化 MISE 或交叉驗證準則。

選擇策略	優點	注意
規則法則	快速	近似性
K折CV	自適應	計算量
plug-in	穩定	估計先驗量

章節測驗

單選題

核密度估計中對結果影響最大的是：

1. 核函數的選擇
2. 頻寬 $h$
3. 排序算法
4. 採樣頻率

顯示答案/解析

答案：2。頻寬主導平滑度與誤差。

判斷題

Mann–Whitney檢驗適合比較兩獨立樣本的中位數差異。

1. 對
2. 錯

顯示答案/解析

答案：對（更準確地說是位置差異）。

跨章導航

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