有理數

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引言

本頁概述學習有理數的目標與路線，並說明本書的章節安排與練習使用方式。

學習目標

明確「有理數」的範圍與意義，了解其在日常計量與數學中的角色。

你需要準備

熟悉整數和分數的基本術語（分子、分母、約分、通分等）。

本節習題

用自己的話描述「有理數」的直觀含義，並舉出三個生活中的例子（要求至少一個是負數）。

在數軸上，哪些點一定是有理數？哪些點不一定是有理數？簡要說明理由。

判斷對錯：所有小數都是有理數。若錯，請給出反例或更正描述。

有理數的定義與表示

關鍵概念

有理數是可以寫成兩個整數之比（分母不為零）的數。

正式定義

若存在整數 $p,q$ 且 $q\neq 0$ ，使得 $x={\frac {p}{q}}$ ，則稱 $x$ 為有理數。

等值分數

若 $k\in \mathbb {Z} ,\ k\neq 0$ ，則 ${\frac {p}{q}}={\frac {kp}{kq}}$

最簡分數

當 $\gcd(|p|,|q|)=1$ 且常規定義分母 $q>0$ 時，稱 ${\frac {p}{q}}$ 為最簡形式。

本節習題

將下列分數化為最簡分數： ${\frac {18}{24}}$ ， ${\frac {-14}{-21}}$ ， ${\frac {35}{-49}}$ 。

說明為什麼約分時不允許把分子與分母的和（或差）去約，而必須是公因數去約。

設 ${\frac {p}{q}}={\frac {10}{-35}}$ 且要求標準形式分母為正，寫出等值且為最簡的分數表示。

分數與小數的互化

分數轉小數

計算分子 ÷ 分母，得到有限小數或無限循環小數。

終止的判定（最簡分數 ${\frac {p}{q}}$ ）：僅當 $q$ 的素因數只有 $2$ 與 $5$ 時，小數表示才為有限小數。

小數轉分數

利用位值與等式構造： $0.125={\frac {125}{1000}}={\frac {1}{8}}$ 循環小數例： $0.{\overline {3}}={\frac {1}{3}},\quad 0.{\overline {27}}={\frac {27}{99}}={\frac {3}{11}}$

本節習題

判斷是否為有限小數並化為小數： ${\frac {7}{40}}$ ， ${\frac {9}{30}}$ 。

將 $0.{\overline {08}}$ 與 $1.2{\overline {34}}$ 化成分數（最簡）。

證明：若 ${\frac {p}{q}}$ （最簡）為有限小數，則 $q=2^{a}5^{b}$ （給出思路與關鍵步驟）。

數軸與大小比較

數軸定位

將區間單位分成 $q$ 份， ${\frac {p}{q}}$ 位於從 0 出發的第 $p$ 份（方向由正負決定）。

比大小

同分母比較分子；異分母通分或交叉相乘比較。

與 0 的距離

用絕對值 $|x|$ 表示到 0 的距離。

本節習題

在同一數軸上標出 $-{\frac {5}{6}}$ 、 ${\frac {2}{3}}$ 、 ${\frac {7}{6}}$ ，並從小到大排序。

比較大小： ${\frac {11}{15}}$ 與 ${\frac {7}{10}}$ ； $-1.2$ 與 $-{\frac {6}{5}}$ 。

已知 $|x|<{\frac {1}{5}}$ ，寫出滿足條件的三個不相同的有理數例子。

有理數的加減法

加法

同分母： ${\frac {a}{q}}+{\frac {b}{q}}={\frac {a+b}{q}}$ 異分母： ${\frac {a}{m}}+{\frac {b}{n}}={\frac {an+bm}{mn}}$

減法

定義為「加上相反數」： $x-y=x+(-y)$

符號與數軸

右移表示加正數，左移表示加負數（或做減法）。

本節習題

計算並化簡： $-{\frac {7}{12}}+{\frac {5}{18}}$ 。

用數軸方法解釋：為什麼 $-2.5-(-1.4)=-1.1$ ？

設計一個「常見錯誤→訂正」的簡短示例，主題為異分母相加時錯誤地「分母相加」。

有理數的乘除法

乘法

分子相乘、分母相乘： ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$ 符號法則：同號得正，異號得負。

除法

乘以倒數： ${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}\quad (c\neq 0)$

約分策略

先約後乘可簡化計算量。

本節習題

計算： $-{\frac {9}{10}}\times {\frac {15}{-18}}$ （給出約分過程）。

計算： ${\frac {7}{12}}\div \left(-{\frac {14}{9}}\right)$ 並化最簡。

用面積模型解釋 ${\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{5}}={\frac {2}{5}}$ 的原因（寫出要點）。

乘方與絕對值

有理數乘方

對整數 $n\geq 0$ ： $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

偶次與奇次

偶次冪非負；奇次冪保留底數的符號。

絕對值

定義： ${\begin{cases}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{cases}}$

本節習題

計算： $\left(-{\frac {3}{4}}\right)^{2}$ ， $\left(-{\frac {3}{4}}\right)^{3}$ 。

解不等式： $|x-1.2|\leq {\frac {3}{10}}$ ，並在數軸上描述解集區間。

判斷並說明理由： $\left({\frac {-2}{5}}\right)^{4}$ 與 $\left({\frac {2}{-5}}\right)^{4}$ 的值是否相等。

四則運算的順序與運算律

運算順序

先括號 → 次冪 → 乘除（自左向右）→ 加減（自左向右）。

運算律

交換律： $a+b=b+a,\quad ab=ba$ 結合律： $(a+b)+c=a+(b+c),\quad (ab)c=a(bc)$ 分配律： $a(b+c)=ab+ac$

本節習題

按順序計算： $1-{\frac {3}{4}}\times \left(2-{\frac {5}{6}}\right)$ 。

利用分配律化簡： ${\frac {5}{12}}x+{\frac {5}{18}}x$ 。

構造一個包含三層括號與分數的表達式，並給出你的計算順序說明。

近似與取整

取近似與保留位數

按指定位數「四捨五入」。

誤差界

若 $x$ 四捨五入到小數點後 $n$ 位得到 $x_{r}$ ，則 $|x-x_{r}|\leq {\frac {1}{2}}\cdot 10^{-n}$

本節習題

將 ${\frac {7}{9}}$ 取到小數點後 3 位，並給出其誤差不超過多少。

一個數四捨五入到小數點後 2 位得到 3.14，寫出原數可能的範圍。

把 $0.{\overline {27}}$ 取到小數點後 4 位，寫出近似值與誤差界。

比例、分率與應用

比與率

用分數表達「比」的大小與單位含義。

百分數

$x\%$ 表示 ${\frac {x}{100}}$ 。

應用場景

部分—整體、按比例縮放、增長與折扣等。

本節習題

折扣問題：一件商品先打 $20\%$ 折扣後再打 $10\%$ ，等效於一次性打幾折？

配比問題：A 與 B 的質量比為 3:5，若總質量 32kg，求 A、B 各多少 kg。

稅率問題：單價 120 的商品加收 $8\%$ 稅，合計應付多少？若再享受 $5\%$ 折扣，最終價格多少？

混合運算與常見錯誤

混合運算

同時含分數、小數與整數時，嚴格遵守運算順序與括號優先。

常見錯誤

分母直接相加是錯誤的。

忽略負號或錯誤處理減法。

糾錯視圖

以「錯因—訂正」的對照方式展示。

本節習題

計算： $1-{\frac {2}{3}}+{\frac {5}{12}}-{\frac {3}{4}}$ （給出通分思路）。

指出並改正錯誤： ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}={\frac {2}{7}}$ 。

設計一個包含「先乘方、後乘除、再加減」的表達式，並寫出你可能犯的一個錯誤與規避方法。

綜合練習

作答要求

不使用計算器（除非特別說明），寫出必要步驟。

題目

化簡併計算： ${\frac {3}{5}}-\left({\frac {2}{15}}+{\frac {7}{10}}\right)$ 。

設 $x={\frac {2}{3}}$ ，計算 $\left(1-{\frac {3}{2}}x\right)\div \left({\frac {1}{2}}x\right)$ 。

將 $0.{\overline {142}}$ 化為分數（最簡），並判斷它是否為有限小數。

比較大小並說明理由： ${\frac {17}{24}}$ 與 ${\frac {5}{7}}$ 。

應用題：一種飲料按體積比「果汁:水=3:7」調配，若需要 2.5 升飲料，果汁與水各需要多少升？