流體力學/不可壓縮與可壓縮流

基本概念

在連續介質假設下，流體的「可壓縮性」描述的是密度 $\rho$ 隨壓力 $p$ 和溫度 $T$ 變化的能力。

不可壓縮流體（incompressible fluid）

理想化概念，假定流體密度為常數，與壓力、溫度和速度場無關；常用於液體以及低速氣流的近似處理中。數學上常寫作

$\rho ={\text{const.}}$

可壓縮流體（compressible fluid）

密度隨壓力、溫度顯著變化，必須通過狀態方程（如理想氣體狀態方程）來描述：

$p=\rho RT$

典型情形是在高速氣動、氣體動力學和內燃機、噴嘴流動等問題中。

實際上，所有真實流體在嚴格意義上都是可壓縮的，只是在某些條件下密度變化很小，可以近似視為不可壓縮。

馬赫數與可壓縮性判據

可壓縮性在氣體流動中通常用馬赫數（Mach number）來定性判斷： $\mathrm {Ma} ={\frac {U}{c}}$ 其中 $U$ 為特徵流速，$c$ 為當地聲速。對理想氣體，聲速 $c={\sqrt {\gamma RT}}$ 其中 $\gamma$ 為比熱比，$R$ 為氣體常數，$T$ 為絕對溫度。

一般工程經驗判據為：

• $\mathrm {Ma} <0.3$：密度變化可忽略不計，通常可採用不可壓縮流近似（例如通風管道、低速風洞）。
• $0.3\lesssim \mathrm {Ma} \lesssim 0.8$：弱可壓縮流，密度有一定變化，需要根據精度要求判斷是否採用可壓縮方程。
• $\mathrm {Ma} \gtrsim 0.8$：可壓縮效應顯著，必須使用可壓縮流方程（跨聲速、超聲速飛行器外流、噴嘴等）。

對液體，體積模量很大，在通常壓力變化範圍內密度變化極小，因此即使速度不低，也往往採用不可壓縮近似。

連續性方程中的差別

一般三維非定常連續性方程為 ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$， 其中 $\mathbf {u} =(u,v,w)$ 為速度向量。

可壓縮流

密度 $\rho =\rho (\mathbf {x} ,t)$ 為變量，必須連同動量方程和能量方程一起求解。連續性方程保持上述一般形式。

不可壓縮流

若假定 $\rho$ 為常數，可從上式得到 $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$， 即速度場滿足散度為零的條件，這也是不可壓縮流的數學特徵之一。此時連續性方程不再顯式包含密度。

需要注意：有時「不可壓縮流」一詞在文獻中既指「$\rho$ 常數的物理假設」，也指「$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$ 的數學約束」，二者在推導上相關但物理含義略有差別。

動量與能量方程

可壓縮流的控制方程

對牛頓流體，一般採用可壓縮 Navier–Stokes 方程，並配合能量方程和狀態方程。以保守形式寫作（略去黏性與源項的詳細展開）：

• 質量守恆：

 ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

• 動量守恆：

 ${\frac {\partial (\rho \mathbf {u} )}{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \mathbf {u} +p\mathbf {I} -{\boldsymbol {\tau }})=\rho \mathbf {f}$

• 能量守恆：

 ${\frac {\partial (\rho E)}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[(\rho E+p)\mathbf {u} -\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\tau }}-\mathbf {q} \right]=\rho {\dot {q}}$

狀態方程（例如理想氣體） $p=(\gamma -1)\rho e$ 將熱力學與流動方程耦合在一起。

不可壓縮流的控制方程

對密度恆定且體積力為重力的不可壓縮牛頓流體，控制方程可簡化為：

• 連續性：

 $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

• 動量（不可壓縮 Navier–Stokes 方程）：

 $\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho \mathbf {g}$

其中黏度寫成 $\mu$，重力加速度為 $\mathbf {g}$，這樣符號就和常見教材保持一致。

如果進一步忽略黏性（高雷諾數外流），可得到不可壓縮的歐拉方程；在穩態、不可壓縮、無黏、沿流線條件下，又可以推導出著名的伯努利方程。

能量方程與可壓縮效應

不可壓縮流中，若黏性耗散不顯著、密度不變，機械能與內能之間的耦合通常較弱，很多工程問題中可不顯式求解能量方程，或只作為溫度場的輔方程。

在可壓縮高速流中，速度、密度和溫度相互耦合，特別是當存在強壓縮/膨脹、激波和噴射等現象時，必須與能量方程聯立求解，否則無法正確描述溫度和壓力場的變化。

等溫與等熵近似

在某些可壓縮流問題中，為簡化分析常採用等溫或等熵近似：

等溫流（isothermal flow）

假定溫度保持常數 $T={\text{const.}}$。對理想氣體有

$p\propto \rho$

適用於熱交換強烈、能量方程可以由邊界條件控制的情況。

等熵流（isentropic flow）

假定過程絕熱且可逆，熵 $s$ 不變。對理想氣體有

$p\rho ^{-\gamma }={\text{const.}}$

${\frac {T_{0}}{T}}=1+{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {Ma} ^{2}$

等熵近似在噴嘴擴張、機翼超聲速外流等區域（遠離激波與強黏性區域）非常常見。

典型應用場景

不可壓縮流的典型應用

• 液體輸運：給水管網、油管、液壓系統；
• 低速空氣流動：空調通風、建築風環境、低速風洞流場；
• 多數水利工程問題：明渠、水庫洩洪、河道水流等。

這些情形下，流速通常遠低於聲速（$\mathrm {Ma} \ll 0.3$），壓力波傳播極快，密度相對變化極小，因此不可壓縮假設十分有效。

可壓縮流的典型應用

• 航空太空：跨聲速/超聲速飛行器外流、噴氣發動機、火箭噴管（$\mathrm {Ma} \geq 1$）；
• 內燃機與燃氣輪機：缸內壓縮、燃燒與膨脹過程；
• 高速噴射與超音速風洞；
• 激波管、爆轟波傳播、衝擊波物理。

在這些問題中，壓力變化大、可壓縮效應導致顯著的密度和溫度變化，需要採用完整的可壓縮流體動力學方程組。

工程上的一些經驗

• 對空氣，當流速低於約 $100\ {\text{m/s}}$ 時，常可視為不可壓縮流（對應 $\mathrm {Ma} \approx 0.3$）。
• 在 CFD 計算中，可壓縮求解器代價較高，因此若可壓縮效應很弱，應優先採用不可壓縮模型以降低計算資源消耗。
• 判定是否需要考慮可壓縮性時，可綜合考慮：馬赫數、壓力相對變化量 $\Delta p/p$、溫度變化和目標物理量對密度的敏感性。

參見

• 流體力學/控制方程
• 流體力學/無量綱參數與相似理論
• 流體力學/邊界層理論
• 流體力學/可壓縮流動基礎