流體力學/弗勞德數與重力效應

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流體力學
弗勞德數與重力效應

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基本概念

弗勞德數(Froude number, Fr)是流體力學中的一個重要無量綱參數，用於表徵慣性力和重力效應的相對大小。該參數由英國工程師威廉·弗勞德(William Froude, 1810-1879)提出，在涉及自由表面的流動問題中具有重要意義。

定義與計算

弗勞德數的數學表達式為:

$Fr={\frac {u}{\sqrt {gL}}}$

式中:

$u$ 為流體的特徵速度
$g$ 為重力加速度
$L$ 為特徵長度

從物理意義上講，弗勞德數表示慣性力與重力量級的比值。分母 ${\sqrt {gL}}$ 相當於淺水波的傳播速度，因此弗勞德數也可以理解為水流速度與水波傳播速度的比值。

在明渠流中，特徵長度通常取為水深 $h$ ，此時公式變為:

$Fr={\frac {u}{\sqrt {gh}}}$

流動狀態分類

根據弗勞德數的大小，可以將流動分為三種狀態:

亞臨界流 (Fr < 1)

當 $Fr<1$ 時，稱為亞臨界流(subcritical flow)。此時重力對流動的影響較慣性力為大，流速較慢，水深較大，流動較為平緩。在這種流況下，擾動波可以向上游傳播。

臨界流 (Fr = 1)

當 $Fr=1$ 時，稱為臨界流(critical flow)。此時慣性力和重力效應相當，流動處於臨界狀態。在臨界流時，能量指標及動量指標（比能及比力）都為極小值。

超臨界流 (Fr > 1)

當 $Fr>1$ 時，稱為超臨界流(supercritical flow)。此時慣性力對流動的影響較重力為大，流速急湍，水深較小。在這種流況下，擾動波傳遞速度小於流速，無法向上游傳播，只能向下游傳播。

重力效應的影響

能量損失

在亞臨界流向超臨界流轉換時，或超臨界流向亞臨界流轉換時，可能發生顯著的能量損失。特別是在超臨界流轉為亞臨界流時，常常伴隨水躍現象(hydraulic jump)的發生。

水躍現象

水躍是明渠水流從超臨界流過渡到亞臨界流時發生的一種局部水力現象。躍後水深與躍前水深的關係可以用以下公式表示:

${\frac {h_{2}}{h_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-1\right)$

式中 $h_{1}$ 、 $h_{2}$ 分別為躍前、躍後水深， $Fr_{1}$ 為躍前水流弗勞德數。

水躍段的長度(躍長 $L_{j}$ )與躍高( $h_{2}-h_{1}$ )及躍前弗勞德數密切相關。實驗表明，當弗勞德數小於6時，在波浪形底板上的水躍長度可比光滑床面減小約50%。

波浪生成

當物體在水面運動時，實際上是在造波。弗勞德數可以用來判斷波浪的傳播特性:

當 $Fr<1$ 時，物體產生的波浪可以向各個方向傳播
當 $Fr>1$ 時，波浪只能在物體後方形成特定的波系

相似準則

在慣性力和重力起重要作用的流動中，欲使兩個幾何相似的物體滿足動力相似條件，必須保證模型和實物的弗勞德數相等。

設相似比為 $\lambda$ ，下標 $p$ 代表實物， $m$ 代表模型，則相似準則為:

$Fr_{p}=Fr_{m}$

即:

${\frac {u_{p}}{\sqrt {gL_{p}}}}={\frac {u_{m}}{\sqrt {gL_{m}}}}$

由此可得速度比:

${\frac {u_{p}}{u_{m}}}={\sqrt {\frac {L_{p}}{L_{m}}}}={\sqrt {\lambda }}$

這一相似準則稱為弗勞德相似準則，在水利工程模型試驗、船舶模型試驗等領域有廣泛應用。通過控制弗勞德數相等，可以在小尺度模型上預測實際工程的流動特性。

例題

例題1

某明渠水流的流速為3 m/s，水深為0.5 m，重力加速度取9.8 m/s²。求該流動的弗勞德數，並判斷流動狀態。

解：

根據弗勞德數公式:

$Fr={\frac {u}{\sqrt {gh}}}={\frac {3}{\sqrt {9.8\times 0.5}}}={\frac {3}{\sqrt {4.9}}}={\frac {3}{2.21}}\approx 1.36$

因為 $Fr>1$ ，所以該流動為超臨界流。

例題2

某船模試驗中，模型長度為實船長度的1/25。若要滿足弗勞德相似準則，當實船航速為20節時，模型的試驗速度應為多少？

解：

根據弗勞德相似準則，速度比等於長度比的平方根:

${\frac {u_{m}}{u_{p}}}={\sqrt {\frac {L_{m}}{L_{p}}}}={\sqrt {\frac {1}{25}}}={\frac {1}{5}}$

因此模型速度為:

$u_{m}={\frac {u_{p}}{5}}={\frac {20}{5}}=4{\text{ 节}}$

模型的試驗速度應為4節。