相對論的速度變換公式

相對論的速度變換公式，可分為正轉換與反轉換。若O系是我們觀察某物體所用的慣性參考系，O'系是對方觀察同一物體時所使用的慣性參考系，假定O系與O'系之間僅有x方向的相對運動，那麼正轉換的相對論速度變換公式可寫成：

$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

其中：

$u'_{x}$ 是我們想知道的值。(對方在他的慣性系內看到此物的x方向的速度是多少?)

$u_{x}$是我們在自己的慣性系內，看到此物的x方向的速度。

$v$是我們在自己的慣性系內，看到對方慣性系相對於我們慣性系的x方向的速度。

$c$是與光速相等的物理常數。

因為已經假定O系與O'系之間僅有x方向的相對運動，因此y方向與z方向的相對論速度變換公式，則分別為：

$u'_{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

$u'_{z}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

反轉換的相對論速度變換公式，可直接由正轉換公式經過移項推導而得出。 反轉換式，想表達的則是：如果我們在O系暫時看不到我們想觀測的物體時，而對方O'系已經觀測到此物體，並且通話來告訴我們他們觀測到的速度是多少。那麼我們就可藉此推測欲觀測物體相對於我們的慣性系的速度是多少。這時所用的公式就是反轉換的相對論速度變換公式。x方向的反轉換相對論速度變換公式可寫成：

$u_{x}={\frac {u'_{x}+v}{1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}}}$

其中：

$u_{x}$ 是我們想知道的值。(我們如果看的到此物，則此物在我們座標系的x方向的速度是多少?)

$u'_{x}$是對方在他們的慣性系內，看到此物的x方向的速度。(是由對方打電話告知我們的。)

$v$是我們在自己的慣性系內，看到對方慣性系相對於我們慣性系的x方向的速度。

$c$是與光速相等的物理常數。

因為已經假定O系與O'系之間僅有x方向的相對運動，因此y方向與z方向的反轉換相對論速度變換公式，則分別為：

$u_{y}={\frac {u'_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}}}$

$u_{z}={\frac {u'_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}}}$

另外，觀察反轉換公式的形式恰好是將正轉換中的v變成-v，u_x、u_y、u_z分別與u'_x、u'_y、u'_z互換所得到的形式。

推導相對論速度變換公式

正轉換的相對論速度變換公式，可由正轉換勞侖茲變換的數學形式推得。 假定O系與O'系僅有x方向的相對運動，則正轉換勞侖茲變換的數學形式如下：

$x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$______(1)

$y'=y$_____(2)

$z'=z$_____(3)

$t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$_____(4)

以下先推導x方向分量的正轉換的相對論速度變換公式：

將(1)(4)兩式同時取其微量得：

$dx'={\frac {dx-vdt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

$dt'={\frac {dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

則:$u'_{x}={\frac {dx'}{dt'}}$ 即可由上兩式相除寫成：

${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {\frac {dx-vdt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

或

${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx-vdt}{dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx}}$

將上式的分子分母同時除以$dt$得：

${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {{\frac {dx}{dt}}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx}{dt}}}}$

其中${\frac {dx}{dt}}$以$u_{x}$代入，而${\frac {dx'}{dt'}}$以$u'_{x}$代入即可獲得x方向分量的正轉換的相對論速度變換公式：

$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

另外，y方向分量的正轉換相對論速度變換公式，也可由同樣的步驟推得，推導如下： 將(2)(4)兩式同時取其微量得：

$dy'=dy$

$dt'={\frac {dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

則:$u'_{y}={\frac {dy'}{dt'}}$即可由上兩式相除寫成：

${\frac {dy'}{dt'}}={\frac {dy}{\frac {dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

或

${\frac {dy'}{dt'}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dy}{dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx}}$

將上式的分子分母同時除以$dt$得：

${\frac {dy'}{dt'}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {dy}{dt}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx}{dt}}}}$

其中${\frac {dy}{dt}}$以$u_{y}$代入，而${\frac {dx}{dt}}$以$u_{x}$代入，${\frac {dy'}{dt'}}$以$u'_{y}$代入，即可獲得y方向分量正轉換的相對論速度變換公式：

$u'_{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

同樣的方法，也可推得z方向分量正轉換的相對論速度變換公式：

$u'_{z}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

同樣的，反轉換的相對論速度變換公式，也可由反轉換的勞侖茲變換的數學形式以相同步驟推得。 然而，由於反轉換的相對論速度變換公式，其實是已知對方的慣性系O'相對於我們的慣性系O的速度v，且已知對方於其慣性系O'觀測到此物體速度u'是多少時，而我們的慣性系O處，卻因為觀測不到此物體(被障礙物阻擋等原因)，想知道此物體相對於我們的慣性系O的速度是多少時，所使用的公式。所以反轉換式中的u' u v 值與正轉換中的u' u v值是同一個值。因此我們可選擇不經過反轉換的勞侖茲變換，而直接由正轉換的相對論速度變換公式，經移項推導獲得。 假定O系與O'系僅有x方向的相對運動，且正轉換的相對論速度變換公式已知如下：

$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$_____(5)

$u'_{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$_____(6)

$u'_{z}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$_____(7)

則反轉換的相對論速度變換公式可由以上的正轉換公式經移項推得。 以下僅以推導x方向分量的反轉換相對論速度變換公式為例，其餘y與z方向的推導原理相同。 推導如下：

由(5)知：

$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}$

移項得：

$u'_{x}(1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}})=u_{x}-v$

$u'_{x}-{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}u_{x}-u_{x}+v=0$

$u'_{x}+v-({\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}+1)u_{x}=0$

$u'_{x}+v=({\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}+1)u_{x}$

最後得到x方向分量的反轉換相對論速度變換公式為：

$u_{x}={\frac {u'_{x}+v}{1+{\frac {vu'_{x}}{c^{2}}}}}$

另外，觀察反轉換公式的形式可發現，其恰好是將正轉換中的v變成-v，u_x、u_y、u_z分別與u'_x、u'_y、u'_z互換所得到的形式。但這種互換方式不能當作推導，僅是一種方便記憶的方法。