電漿物理學/低頻波與Alfvén波

導論

• 本章聚焦在理想MHD與電阻性MHD框架下的低頻波，特別是Alfvén 波與磁聲波。
• 目標：掌握色散關係、極化、傳播特徵與典型阻尼機制。

理想MHD線性化

• 背景 $\mathbf {B} _{0}$ 均勻，密度 $\rho _{0}$、壓強 $p_{0}$
• 設微擾 $\delta \mathbf {u} ,\delta \mathbf {B} ,\delta p$，令 $\propto e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$
• 得到標準三模：Alfvén、快磁聲、慢磁聲

Alfvén 波

• 色散關係：$\omega =k_{\parallel }v_{A}$
• Alfvén 速度：$v_{A}={\frac {B_{0}}{\sqrt {\mu _{0}\rho _{0}}}}$
• 極化：橫向、磁張力主導，磁壓不變
• 能量與群速度：沿 $\mathbf {B} _{0}$ 傳播，$\mathbf {v} _{g}$ 與相速度一致

磁聲波

• 快模與慢模色散：取決於 $\theta$（$\mathbf {k}$ 與 $\mathbf {B} _{0}$ 的夾角）與 $c_{s}$、$v_{A}$
• 特徵速度：$c_{f},c_{s}$ 由磁壓與氣體壓強組合

電阻性與粘性效應

• 電阻性阻尼：$\eta$ 引入磁擴散，令 $\omega \rightarrow \omega +i\gamma$
• 粘性項：$\nu$ 對速度微擾產生耗散

低頻近似與尺度分離

• 要求 $\omega \ll \omega _{ci}$，忽略電子慣性與位移電流
• 長尺度近似：$k\rho _{i}\ll 1$

剪切Alfvén與全局模

• 在托卡馬克中形成離散譜，安全因子 $q$ 與磁面剪切決定頻率窗
• TAEs：由Alfvén 連續譜間隙形成的全局不穩定模

迴旋與有限拉莫爾半徑修正

• 雙流體/動理學引入有限 $\rho _{i}$ 修正色散
• 出現離子迴旋共振吸收與模式轉換

邊界與幾何效應

• 管道/環形幾何的邊界條件改變譜與模式結構
• 開放端反射與吸收導致模型離散化

流動與剪切對穩定性影響

• 背景流 $\mathbf {U}$ 產生都卜勒移與剪切穩定化
• 速度剪切可抑制某些漂移驅動的低頻模

診斷方法

• 磁探針與互感線圈測量磁漲落
• 密度擾動成像與光學法檢測波結構
• 功率譜分析識別Alfvén 連續譜與間隙模

示例推導

• 從線性化MHD方程出發推導 $\omega =k_{\parallel }v_{A}$ 的過程（示意步驟）
• 指出關鍵近似與物理解釋

常見誤區

• 將快模與Alfvén 模混淆，忽略極化差異
• 忽略電阻性與幾何對頻率的影響
• 過度使用理想近似在有強耗散的實驗條件下

小練習

1. 推導理想Alfvén 波色散並給出極化方向
2. 說明TAE形成的物理原因與安全因子角色
3. 討論有限拉莫爾半徑如何修正低頻色散
4. 估算電阻性阻尼對頻率與增長率的影響
5. 設計一個磁探針陣列以識別剪切Alfvén 模