電漿物理學/單粒子運動與迴旋運動

洛倫茲力與基本軌道

• 方程：$m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$
• 勻強磁場、零電場：迴旋運動，角頻率 $\omega _{c}={\frac {|q|B}{m}}$，拉莫爾半徑 $\rho _{L}={\frac {v_{\perp }}{\omega _{c}}}$
• 勻強電場與磁場正交：$\mathbf {E} \times \mathbf {B}$ 漂移，$\mathbf {v} _{E\times B}={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} }{B^{2}}}$

常見漂移（導引中心近似）

• 梯度B漂移：$\mathbf {v} _{\nabla B}={\frac {mv_{\perp }^{2}}{2qB^{3}}}\,\mathbf {B} \times \nabla B$
• 曲率漂移：$\mathbf {v} _{c}={\frac {mv_{\parallel }^{2}}{qB^{3}}}\,\mathbf {B} \times (\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {B}$
• 極向（或重力/離心）漂移：$\mathbf {v} _{F}={\frac {\mathbf {F} \times \mathbf {B} }{qB^{2}}}$
• 極化漂移（時變電場）：$\mathbf {v} _{p}={\frac {m}{qB^{2}}}{\frac {d\mathbf {E} }{dt}}$

磁矩與絕熱不變量

• 第一絕熱不變量：$\mu ={\frac {mv_{\perp }^{2}}{2B}}$，緩變場中近似守恆
• 磁鏡效應：${\frac {v_{\parallel }^{2}}{B}}+{\frac {v_{\perp }^{2}}{B}}={\text{常数（结合}}\ \mu {\text{守恒）}}$
• 捕獲條件（示意）：$\sin ^{2}\alpha _{0}\geq {\frac {B_{0}}{B_{\max }}}$

能量與相位

• 無電場時總動能守恆：${\frac {1}{2}}mv^{2}={\text{常数}}$
• 迴旋相位：$\phi (t)=\phi _{0}+\omega _{c}t$
• 迴旋中心（導引中心）演化由各類漂移疊加給出

小練習

1. 推導 $\mathbf {E} \times \mathbf {B}$ 漂移與電荷符號無關的原因
2. 已知 $B=2\ \mathrm {T}$，電子 $v_{\perp }=1.0\times 10^{6}\ \mathrm {m/s}$，求 $\rho _{L}$
3. 在存在 $\nabla B$ 的情形下，比較 $\mathbf {v} _{\nabla B}$ 與 $\mathbf {v} _{E\times B}$ 的量綱與典型數量級