經典力學/一維勢阱與穩定性

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一維勢阱與穩定性

• 定義：一維勢能函數 $U(x)$ 的局部極小點附近，粒子在小擾動下近似為簡諧運動，稱為穩定勢阱。

• 平衡點與穩定性：平衡點 $x_{0}$ 滿足 $U'(x_{0})=0$。若 $U''(x_{0})>0$ 穩定，$U''(x_{0})<0$ 不穩定；$U''(x_{0})=0$ 需考察高階項。

• 小振動近似：在穩定點附近展開 $U(x)\approx U(x_{0})+{\tfrac {1}{2}}k(x-x_{0})^{2}$，其中 $k=U''(x_{0})$，得到 $m{\ddot {x}}+k(x-x_{0})=0$，角頻率 $\omega ={\sqrt {k/m}}$。

• 束縛條件：給定總能量 $E$，若 $U_{\min }\leq E<U_{\text{barrier}}$，運動被束縛在轉折點 $U(x)=E$ 之間；若 $E$ 超過勢壘則可逃逸。

• 常見勢阱

1. 簡諧勢：$U={\tfrac {1}{2}}kx^{2}$，任意能量下均束縛。
2. 雙勢阱：$U=ax^{4}-bx^{2}$（$a,b>0$），兩穩定點與一不穩定點。
3. 斜面重力勢：$U=mgx\sin \theta$，單調無束縛。

• 有效勢思想：中心力問題引入 $U_{\text{eff}}(r)=U(r)+{\dfrac {L^{2}}{2mr^{2}}}$，以徑向一維勢分析穩定軌道半徑。

練習

1. 對勢 $U(x)=\alpha x^{4}-\beta x^{2}$（$\alpha ,\beta >0$），求平衡點並判斷穩定性。
2. 設 $U(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}+\lambda x^{3}$，在 $|x|\ll 1$ 下估算頻率對振幅的一階修正趨勢（定性）。