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中心力與有效勢

• 中心力定義：力僅依賴距離$r$且指向徑向，即$\mathbf {F} (r)=F(r)\,{\hat {\mathbf {r} }}$；對應勢能$U(r)$滿足$\mathbf {F} =-\nabla U(r)$。

• 角動量守恆：在中心力下$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$守恆，軌跡位於一平面；設角動量大小$L$為常數。

• 有效勢：徑向動力學可寫成一維問題，定義$U_{\text{eff}}(r)=U(r)+{\dfrac {L^{2}}{2mr^{2}}}$；第二項為離心勢壘，防止粒子靠近中心。

• 徑向方程：能量守恆$E={\tfrac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+U_{\text{eff}}(r)$，轉折點滿足$U_{\text{eff}}(r)=E$。

• 圓軌道與穩定性：圓軌道半徑$r_{0}$需滿足${\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}{\big |}_{r_{0}}=0$；穩定性取決於${\dfrac {d^{2}U_{\text{eff}}}{dr^{2}}}{\big |}_{r_{0}}>0$。

練習

1. 對$U(r)=-{\dfrac {k}{r}}$，寫出$U_{\text{eff}}(r)$並求穩定圓軌道半徑$r_{0}$關於$E,L$的關係。
2. 對斥力勢$U(r)=+{\dfrac {k}{r}}$，討論是否存在束縛軌道與穩定圓軌道。