經典力學/位移速度加速度

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經典力學/位移、速度與加速度

位移、速度與加速度是描述質點運動的核心物理量。給定參考系與時間參數$t$，質點的空間位置用向量$\mathbf {r} (t)$表示。

位移（Displacement）

位移是位置向量的變化量，描述從初始位置到末位置的有向量：

1. 向量定義：$\Delta \mathbf {r} =\mathbf {r} (t_{2})-\mathbf {r} (t_{1})$。
2. 純量路程與位移不同：路程是路徑長度（非負純量），位移是首尾相連的向量。
3. 在微小時間間隔內，位移近似為$\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathbf {v} \,\mathrm {d} t$。

速度（Velocity）

速度是位置對時間的一階導數，給出運動的瞬時方向與快慢：

1. 向量定義：$\mathbf {v} (t)={\dfrac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}$。
2. 平均速度：${\bar {\mathbf {v} }}={\dfrac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}$；瞬時速度由極限得到。
3. 曲線運動分解：$\mathbf {v} =v\,{\hat {\boldsymbol {\tau }}}$，其中$v=\|\mathbf {v} \|$為速率，${\hat {\boldsymbol {\tau }}}$為切向單位向量。

加速度（Acceleration）

加速度是速度對時間的一階導數（位置的二階導數），刻畫速度變化：

1. 向量定義：$\mathbf {a} (t)={\dfrac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\dfrac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}$。
2. 平均加速度：${\bar {\mathbf {a} }}={\dfrac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}$。
3. 自然標架分解（曲線運動）：$\mathbf {a} =a_{\tau }\,{\hat {\boldsymbol {\tau }}}+a_{n}\,{\hat {\mathbf {n} }}$，其中

1. 切向分量：$a_{\tau }={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}$（改變速率）。 2. 法向分量：$a_{n}={\dfrac {v^{2}}{\rho }}$（改變方向，$\rho$為曲率半徑）。

常見坐標系中的表達

在不同坐標系中，$\mathbf {v}$與$\mathbf {a}$的表達不同，反映基矢隨位置變化的幾何效應。

1. 笛卡爾坐標（3D）：$\mathbf {r} =(x,y,z)$，

1. 速度：$\mathbf {v} =({\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})$。 2. 加速度：$\mathbf {a} =({\ddot {x}},{\ddot {y}},{\ddot {z}})$。

1. 平面極坐標（2D）：$\mathbf {r} =r\,{\hat {\mathbf {e} }}_{r}$，

1. 速度：$\mathbf {v} ={\dot {r}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{r}+r{\dot {\theta }}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }$。 2. 加速度：$\mathbf {a} =({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{r}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }$。

1. 圓周運動特例：若$r=R$常數且${\dot {\theta }}=\omega$常數，則

1. $\mathbf {v} =R\omega \,{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }$， 2. $\mathbf {a} =-R\omega ^{2}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{r}$（指向圓心的向心加速度）。

勻變速直線運動（1D）

在一維$x$軸上，若加速度恆定$a$，則

1. 速度-時間：$v(t)=v_{0}+a(t-t_{0})$。
2. 位移-時間：$x(t)=x_{0}+v_{0}(t-t_{0})+{\tfrac {1}{2}}a(t-t_{0})^{2}$。
3. 速度-位移：$v^{2}=v_{0}^{2}+2a(x-x_{0})$。

平均量與積分關係

1. 位移是速度的時間積分：$\Delta x=\int _{t_{1}}^{t_{2}}v_{x}(t)\,\mathrm {d} t$（各分量同理）。
2. 速度是加速度的時間積分：$\Delta \mathbf {v} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} (t)\,\mathrm {d} t$。
3. 路程可由速率積分給出：$s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\|\mathbf {v} (t)\|\,\mathrm {d} t$。

關於參考系的提醒

速度與加速度依賴參考系的選取：不同慣性系之間由伽利略變換關係連接；在非慣性系中需考慮慣性力，等效為在方程中加入附加項使$\sum \mathbf {F} =m\mathbf {a}$形式得以維持。