經典力學/作用角變量與可積系統

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作用-角變量與可積系統

• 可積系統：具有$n$自由度的哈密頓系統若存在$n$個兩兩泊松對易且獨立的守恆量，則為李烏維爾可積。

• 作用-角坐標：通過正則變換引入作用 $J_{i}$ 與角 $\theta _{i}$，使哈密頓量僅依賴 $\mathbf {J}$，即 $H=H(\mathbf {J} )$，演化為 ${\dot {\theta }}_{i}={\dfrac {\partial H}{\partial J_{i}}}=\omega _{i}(\mathbf {J} )$，${\dot {J}}_{i}=0$。

• 作用的定義（單自由度）：$J={\dfrac {1}{2\pi }}\oint p\,dq$，積分 over 一個周期閉合軌道。

• 頻率與拍頻：不同模態的 $\omega _{i}$ 組合決定準周期運動；近簡併時出現拍頻與慢相位漂移。

• 示例（諧振子）：$H=\omega J$，角變量勻速演化；$J$ 正比於能量。

練習

1. 對一維諧振子，計算$J={\dfrac {1}{2\pi }}\oint p\,dq$並證明$H=\omega J$。
2. 在中心力問題中，寫出徑向與角向的兩個作用量定義，並討論其與軌道閉合條件的關係。