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勢能與保守力

• 保守力判據：任意閉合迴路功為零 $\oint \mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =0$，或存在純量勢 $U(\mathbf {r} )$ 使 $\mathbf {F} =-\nabla U$。

• 勢能定義：從參考點到位置 $\mathbf {r}$ 的保守力負功 $U(\mathbf {r} )=-\int _{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$（與路徑無關）。

• 常見勢

1. 重力近地面：$U_{g}=mgh$
2. 萬有引力：$U(r)=-{\dfrac {GMm}{r}}$
3. 彈簧勢能：$U_{s}={\tfrac {1}{2}}kx^{2}$

• 平衡與穩定性：一維中 $U'(x_{0})=0$ 為平衡點；若 $U''(x_{0})>0$ 穩定，$U''(x_{0})<0$ 不穩定。

• 機械能守恆（僅保守力）：$E=K+U={\text{const}}$；若含非保守力 $W_{\text{非保守}}=\Delta E$。

• 保守場的旋度：$\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0}$（單連通區域內等價於保守）。