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勢能與保守力

• 保守力判據：任意閉合迴路功為零 $\oint 𝐅\cdot d𝐫=0$，或存在純量勢 $U(𝐫)$ 使 $𝐅=-\mathrm{\nabla }U$。

• 勢能定義：從參考點到位置 $𝐫$ 的保守力負功 $U(𝐫)=-{\int }_{𝒞}𝐅\cdot d𝐫$（與路徑無關）。

• 常見勢

1. 重力近地面：$U_g=mgh$
2. 萬有引力：$U(r)=-\frac{GMm}{r}$
3. 彈簧勢能：$U_s=\frac{1}{2}k{x}^2$

• 平衡與穩定性：一維中 $U^{\prime }(x_0)=0$ 為平衡點；若 $U^{″}(x_0)>0$ 穩定，$U^{″}(x_0)<0$ 不穩定。

• 機械能守恆（僅保守力）：$E=K+U=\text{const}$；若含非保守力 $W_{\text{非保守}}=\mathrm{\Delta }E$。

• 保守場的旋度：$\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\mathrm{𝟎}$（單連通區域內等價於保守）。