經典力學/品質因數與共振

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品質因數與共振

• 品質因數定義：欠阻尼系統的 $Q=\frac{1}{2\zeta }=\frac{\sqrt{km}}{c}$，亦可由能量法 $Q=2\pi \times \frac{\text{储能}}{\text{每周期能量损失}}$。

• 共振峰與半功率頻寬：受迫響應的峰值近 $\omega \approx {\omega }_0\sqrt{1-2{\zeta }^2}$（小阻尼），頻寬 $\mathrm{\Delta }\omega ={\omega }_0/Q$，滿足 $|X{|}^2$ 降至一半的頻率間隔。

• 相位跨越：在共振附近相位從 $0$ 躍遷到 $\pi$；$\omega ={\omega }_0$ 時 $\delta =\pi /2$。

• 機械—電學類比：$(m,c,k)$ 對應 $(L,R,1/C)$；$Q=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{1}{{\omega }_{0}RC}$。

• 測量方法：掃頻測量幅度響應，取半功率點求 $\mathrm{\Delta }\omega$，由 $Q={\omega }_0/\mathrm{\Delta }\omega$ 估計阻尼。

練習

1. 給定掃頻曲線的半功率點${\omega }_1,{\omega }_2$與峰頻${\omega }_0$，求$Q$並估計阻尼比$\zeta$。
2. 證明在小阻尼近似下，共振峰頻率與自然頻率的偏差為${\omega }_{\text{peak}}\approx {\omega }_0\sqrt{1-2{\zeta }^2}$。