經典力學/品質因數與共振

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品質因數與共振

• 品質因數定義：欠阻尼系統的 $Q={\dfrac {1}{2\zeta }}={\dfrac {\sqrt {km}}{c}}$，亦可由能量法 $Q=2\pi \times {\dfrac {\text{储能}}{\text{每周期能量损失}}}$。

• 共振峰與半功率頻寬：受迫響應的峰值近 $\omega \approx \omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}$（小阻尼），頻寬 $\Delta \omega =\omega _{0}/Q$，滿足 $|X|^{2}$ 降至一半的頻率間隔。

• 相位跨越：在共振附近相位從 $0$ 躍遷到 $\pi$；$\omega =\omega _{0}$ 時 $\delta =\pi /2$。

• 機械—電學類比：$(m,c,k)$ 對應 $(L,R,1/C)$；$Q={\dfrac {\omega _{0}L}{R}}={\dfrac {1}{\omega _{0}RC}}$。

• 測量方法：掃頻測量幅度響應，取半功率點求 $\Delta \omega$，由 $Q=\omega _{0}/\Delta \omega$ 估計阻尼。

練習

1. 給定掃頻曲線的半功率點$\omega _{1},\omega _{2}$與峰頻$\omega _{0}$，求$Q$並估計阻尼比$\zeta$。
2. 證明在小阻尼近似下，共振峰頻率與自然頻率的偏差為$\omega _{\text{peak}}\approx \omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}$。