經典力學/小振動的拉格朗日處理

物理學 > 經典力學 > 小振動的拉格朗日處理

小振動的拉格朗日處理

• 平衡與二階展開：在平衡$\mathbf {q} _{0}$附近，將勢能與動能二階化：$L={\tfrac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{\top }\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}-{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {q} -\mathbf {q} _{0})^{\top }\mathbf {K} (\mathbf {q} -\mathbf {q} _{0})$。

• 正則方程：得到線性系統$\mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}+\mathbf {K} (\mathbf {q} -\mathbf {q} _{0})=\mathbf {0}$；設$\mathbf {q} (t)={\boldsymbol {\phi }}e^{i\omega t}$，有$(\mathbf {K} -\omega ^{2}\mathbf {M} ){\boldsymbol {\phi }}=\mathbf {0}$。

• 歸一化與正交：模態滿足${\boldsymbol {\phi }}_{i}^{\top }\mathbf {M} {\boldsymbol {\phi }}_{j}=0$；質量歸一化${\boldsymbol {\phi }}_{i}^{\top }\mathbf {M} {\boldsymbol {\phi }}_{i}=1$便於模態坐標分離。

• 模態坐標：令$\mathbf {q} (t)=\sum _{i}\eta _{i}(t){\boldsymbol {\phi }}_{i}$，每個$\eta _{i}$獨立滿足一維簡諧方程；受迫時出現獨立的模態共振。

• 耗散與耦合：小阻尼可在模態坐標中引入對角阻尼近似；耦合弱時模態間能量出現拍頻交換。

練習

1. 二質點三彈簧系統：寫出$\mathbf {M} ,\mathbf {K}$並求本徵頻率與模態；用模態坐標寫出通解。
2. 在小阻尼近似下，證明每個模態的品質因數$Q_{i}={\dfrac {\sqrt {m_{i}k_{i}}}{c_{i}}}$（符號化討論，假設模態阻尼可對角化）。