經典力學/廣義坐標與約束分類

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廣義坐標與約束分類

• 自由度與廣義坐標：對$N$質點，笛卡爾坐標自由度為$3N$；約束獨立方程數為$s$，則自由度$f=3N-s$。選取$f$個獨立廣義坐標$\mathbf {q} =(q_{1},\dots ,q_{f})$描述構形。

• 約束類型

1. 幾何約束（定常/時間相關）：方程$\phi _{\alpha }(\mathbf {r} ,t)=0$，若不顯含時間為定常約束。
2. 完整與非完整：若約束可寫為等式$\phi _{\alpha }(\mathbf {r} ,t)=0$（可積分到構形空間子流形）為完整；若為不可積微分形式如$\sum a_{i}(\mathbf {r} ,t)\,dr_{i}=0$為非完整。
3. 純滾動約束：為典型非完整約束，約束在速度層面。

• 速度與加速度的映射：${\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {J} (\mathbf {q} ,t)\,{\dot {\mathbf {q} }}$，其中$\mathbf {J}$為雅可比；加速度${\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {J} \,{\ddot {\mathbf {q} }}+{\dot {\mathbf {J} }}\,{\dot {\mathbf {q} }}$。

• 廣義速度與廣義力：廣義速度${\dot {\mathbf {q} }}$定義於切空間；廣義力通過虛功$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j}Q_{j}\,\delta q_{j}$得到$Q_{j}$。

• 選擇坐標的原則：獨立、覆蓋可達構形、避免奇異；利用對稱性與約束直接消元，優先選擇角度、長度等天然參數。

練習

1. 一剛體在平面內純滾動，選取質心坐標$(x,y)$與姿態角$\theta$為廣義坐標，寫出速度約束並判定是否完整。
2. 兩擺連結為雙擺，寫出廣義坐標$(\theta _{1},\theta _{2})$與末端位置$\mathbf {r} _{2}(\theta _{1},\theta _{2})$的表達式。