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碰撞與衝量方法

• 衝量：短時強作用期間 $\mathbf {J} =\int _{t^{-}}^{t^{+}}\mathbf {F} \,dt=\Delta \mathbf {p}$，將複雜接觸力時程等效為動量躍遷。

• 一維恢復係數：$e={\dfrac {v_{2}'-v_{1}'}{v_{1}-v_{2}}}$；$e=1$ 完全彈性，$0<e<1$ 非完全彈性，$e=0$ 完全非彈性。

• 基本方程

1. 動量守恆：$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'$
2. 恢復方程：$v_{2}'-v_{1}'=-e\,(v_{2}-v_{1})$

• 斜碰分解：將速度與衝量分解為法向與切向；法向由 $e$ 決定，切向受摩擦衝量與無滑動約束共同限制。

• 剛體與角動量：對接觸點取矩，若外矩可忽略，則關於該點角動量守恆；需結合轉動慣量與接觸衝量求角速度躍遷。

• 能量損失：非彈性碰撞的動能損失 $\Delta E=K_{\text{前}}-K_{\text{后}}\geq 0$，反映形變、熱與聲等耗散機理。

練習

1. 已知$m_{1},m_{2},e,v_{1},v_{2}$的一維碰撞，求$v_{1}',v_{2}'$的代數表達式。
2. 光滑平面上小球以與牆法線夾角$\theta$入射，設切向無摩擦、法向恢復係數為$e$，求反射後速度。