經典力學/簡諧振動與相位

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簡諧振動與相位

• 方程與解：一維簡諧振動滿足 $m{\ddot {x}}+kx=0$，通解 $x(t)=A\cos(\omega t+\phi )$，其中 $\omega ={\sqrt {k/m}}$。

• 相位與初值：相位 $\phi$ 由初始條件確定；$x(0)=x_{0},\,{\dot {x}}(0)=v_{0}$ 給出 $A={\sqrt {x_{0}^{2}+(v_{0}/\omega )^{2}}}$、$\phi =\arctan \!{\big (}-v_{0}/(\omega x_{0}){\big )}$（注意象限）。

• 能量：總能量 $E={\tfrac {1}{2}}kA^{2}$，動能 $K={\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$、勢能 $U={\tfrac {1}{2}}kx^{2}$ 在周期內互換但 $E$ 不變。

• 相位圖：$(x,{\dot {x}})$ 相圖為橢圓 $(x/A)^{2}+({\dot {x}}/\omega A)^{2}=1$，逆時針勻速運動。

• 複數表示：令 $x(t)=\Re \{{\tilde {A}}e^{i\omega t}\}$，線性疊加更便捷；相位差通過復幅的輻角表示。

練習

1. 已知$x(0)=x_{0},{\dot {x}}(0)=0$，寫出$x(t)$並給出相位$\phi$。
2. 畫出幅值為$A$的相位圖橢圓方程，並標註最大速度。