經典力學/達朗貝爾原理與拉格朗日方程

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達朗貝爾原理與拉格朗日方程

• 達朗貝爾原理：對每一允許虛位移 $\delta \mathbf {r} _{i}$，有 $\sum _{i}{\big (}\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}{\big )}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$；若約束力不做虛功（即理想約束），則 $\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{({\text{约}})}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$，因此只需考慮有效力。

• 拉格朗日函數與方程：定義 $L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=K-U$，滿足 ${\dfrac {d}{dt}}\!\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial q_{j}}}=Q_{j}^{({\text{非保守}})}$；若僅保守力則右側為零。

• 坐標不變性：在任意可微坐標變換下，方程形式不變，體現幾何協變性與坐標選擇的自由度。

• 處理非保守力：黏性阻尼可通過瑞利耗散函數 $R={\tfrac {1}{2}}c\,{\dot {x}}^{2}$ 給出 $Q_{x}^{({\text{非保守}})}=-{\dfrac {\partial R}{\partial {\dot {x}}}}=-c\,{\dot {x}}$。

• 約束力自動消元：用獨立 $\mathbf {q}$ 編碼約束後，約束力不顯式出現；非完整約束需用乘子或高斯原理等處理。

練習

1. 對單擺$q=\theta$，寫出$L$並推導運動方程${\ddot {\theta }}+{\dfrac {g}{\ell }}\sin \theta =0$（小角近似可給出線性化）。
2. 含黏性阻尼的彈簧質點，用瑞利耗散函數法寫出修正的拉格朗日方程並得到欠阻尼條件。