經典力學/連結與耦合振子

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連結與耦合振子

• 模型：兩個質量通過耦合彈簧連結：$m{\ddot {x}}_{1}+kx_{1}+k_{c}(x_{1}-x_{2})=0$，$m{\ddot {x}}_{2}+kx_{2}+k_{c}(x_{2}-x_{1})=0$。

• 正模與反模：設 $x_{1}=A\cos \omega t$、$x_{2}=B\cos \omega t$，解得同相模 $\omega _{+}={\sqrt {k/m}}$（$A=B$），反相模 $\omega _{-}={\sqrt {(k+2k_{c})/m}}$（$A=-B$）。

• 能量在耦合中轉移：弱耦合且初始僅激勵一個振子時，存在拍頻能量交換，拍頻約為 $\omega _{-}-\omega _{+}$。

• 非對稱情形：質量或自彈簧不同則模態不再純同/反相；需要解廣義特徵問題 $(\mathbf {K} -\omega ^{2}\mathbf {M} ){\boldsymbol {\phi }}=\mathbf {0}$。

• 受迫與鎖定：當驅動頻率接近某一模態頻率時，該模態響應占優；強耦合與非線性可能出現相位鎖定與同步。

練習

1. 推導對稱耦合系統的兩本徵頻率$\omega _{\pm }$並給出模態向量。
2. 設$m_{1}\neq m_{2}$或$k_{1}\neq k_{2}$，寫出矩陣形式並說明如何求模態（無需給出閉式解）。