經典力學/重力彈力摩擦與流體阻力

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受力分析與約束

1. 受力圖原則：隔離目標物體，只畫實際作用力（重力、支持力、拉力、摩擦等），不畫運動學量；求合力 $\sum \mathbf {F}$。

2. 約束反力：由幾何或接觸條件產生；光滑無摩擦面僅法向反力 $N$，粗糙面含切向摩擦 $f$。

3. 約束方程：長度/幾何不變給出 $\phi (\mathbf {r} _{i},t)=0$ 或速度形式 $\sum a_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {n} _{i}=b(t)$。

4. 拉力與繩：輕、不可伸長繩中張力處處等大；定滑輪僅改向不改大小；約束速度滿足 $v_{A}+k\,v_{B}={\text{const}}$（視繞法而定）。

5. 摩擦定律：靜摩擦 $|f_{s}|\leq \mu _{s}N$（方向阻相對滑動趨勢），動摩擦 $f_{k}=\mu _{k}N$（方向阻相對運動）。

6. 圓周/曲面約束：法向加速度需求 $N-mg\cos \theta =mv^{2}/R$（上圓點判離條件 $N\geq 0$）。

7. 斜面分解：沿斜面 $mg\sin \theta -f=ma$，法向 $N=mg\cos \theta$；臨界靜摩擦 $f_{\max }=\mu _{s}N$。

8. 受力與能量：理想約束力常做功為零（如光滑鉸、理想繩的內力）；摩擦做負功轉為內能。

9. 多體聯動：同繩同加速度方向相同或相反由繞法定；總動量方程 $\sum \mathbf {F} _{\text{外}}={\dfrac {d\mathbf {P} }{dt}}$ 輔助整體分析。

10. 拉格朗日乘子：將約束 $\phi _{\alpha }=0$ 引入 $L$，方程 ${\dfrac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=\sum _{\alpha }\lambda _{\alpha }{\frac {\partial \phi _{\alpha }}{\partial q_{i}}}$ 給出約束反力方向。