電漿物理學/附錄C 常見推導與公式表

附錄C：常見推導與公式表

• 本附錄匯總常用方程、色散關係與標度律，便於快速查閱。注意各式的適用前提與量綱一致性。

基本守恆律

• 質量守恆：${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$
• 動量守恆：$\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t}}=-\nabla p+\mathbf {J} \times \mathbf {B} +\nabla \cdot {\boldsymbol {\Pi }}$
• 全能量守恆：${\frac {\partial W}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =Q-L$

Maxwell 方程

• 高斯定律：$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{c}/\varepsilon _{0}$
• 磁通無散：$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
• 法拉第感應：$\nabla \times \mathbf {E} =-\partial _{t}\mathbf {B}$
• 安培-麥克斯韋：$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}\partial _{t}\mathbf {E}$

廣義歐姆定律

• $\mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} =\eta \mathbf {J} +{\frac {\mathbf {J} \times \mathbf {B} }{ne}}-{\frac {\nabla p_{e}}{ne}}+{\frac {m_{e}}{ne^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}$

理想與非理想MHD

• 誘導方程（理想）：$\partial _{t}\mathbf {B} =\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )$
• 誘導方程（含電阻）：$\partial _{t}\mathbf {B} =\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )+\eta \nabla ^{2}\mathbf {B}$
• 狀態方程（等熵近似）：$p\propto \rho ^{\gamma }$

典型色散關係

• Alfvén 波：$\omega ^{2}=k_{\parallel }^{2}v_{A}^{2}$
• 快/慢磁聲波：$\omega ^{2}={\frac {1}{2}}\left[(c_{s}^{2}+v_{A}^{2})k^{2}\pm {\sqrt {(c_{s}^{2}+v_{A}^{2})^{2}k^{4}-4c_{s}^{2}v_{A}^{2}k_{\parallel }^{2}k^{2}}}\right]$
• 朗繆爾波：$\omega ^{2}=\omega _{pe}^{2}+3k^{2}v_{Te}^{2}$
• 離子聲波：$\omega ^{2}={\frac {k^{2}c_{s}^{2}}{1+k^{2}\lambda _{De}^{2}}}$

重聯與擴散標度

• Sweet–Parker 厚度：$\delta \sim {\frac {L}{\sqrt {S}}}$
• 重聯速率：$R\sim {\frac {v_{A}}{\sqrt {S}}}$
• Hall 判據：$\delta \lesssim d_{i}=c/\omega _{pi}$

湍流與各向異性

• Kolmogorov 能譜：$E(k)\sim \varepsilon ^{2/3}k^{-5/3}$
• GS95 臨界平衡：$k_{\parallel }\propto k_{\perp }^{2/3}$

ICF 關鍵量

• 雷射臨界密度：$n_{c}=\varepsilon _{0}m_{e}\omega _{0}^{2}/e^{2}$
• 點火面密度：達到 $\rho R$ 閾值後由 α 自熱維持

數值穩定與無散

• CFL 條件：$\Delta t\leq \mathrm {CFL} \,{\frac {\Delta x}{\max |\lambda _{m}|}}$
• 無散磁場約束：CT 法保證離散 $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

常見近似

• 低頻近似：忽略位移電流
• 等溫近似：$p=c_{s}^{2}\rho$

小練習

1. 在低β與高β極限下，快/慢磁聲色散式分別如何簡化？給出物理解釋
2. 在給定 S 與 L 的條件下估算重聯層厚度，並判斷是否進入 Hall 區域
3. 對於各向異性湍流，若注入率恆定，推導 $k_{\parallel }\propto k_{\perp }^{2/3}$ 的關鍵時間尺度匹配
4. 用廣義歐姆定律判斷何種空間尺度上 Hall 項與電子壓力梯度項占優
5. 給出含電阻的誘導方程中磁擴散時間尺度與對流時間尺度，並寫出磁雷諾數定義