高中數學（版聊式）/第一章：為什麼會有導數和積分？

問什麼要有導數和積分？

數學已經很完備了，可是為什麼還要有導數和積分呢？大家可以來看下面的內容。

速度、切線

速度

在物理中，我們知道：當一個物體做直線運動時，物體在直線上的位置完全由某個函數s=f(t)確定。

先考慮最簡單的情況，物體做勻速直線運動。此時，s=vt，即v=s/t。並且對於不同的t，v的值都是一樣的。v可以表示任意時刻的瞬時速度。

那麼對於非勻速運動的物體呢？怎麼理解在s=f(t)情況下t₀時刻的瞬時速度呢？

首先我們取時間從t₀到t₁這樣一個時間段。那麼物體在這一時間段內，有平均速度

$v={\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}$

如果我們將t₁取得非常靠近t₀（比如t₁-t₀=10^-100 s）,那麼我們可以認為物體在如此短的一個時間內做勻速運動。更為精確的說，令t₁→t₀（「→」是趨向的意思。表示左邊的量非常非常接近右邊的量，幾乎等於）,那麼t₀時刻的瞬時速度就是

$v=\lim _{t_{1}\to t_{0}}{\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}$

其中，$\lim _{t_{1}\to t_{0}}$叫做極限符號，表示的是當t₁→t₀的時候。

切線

圓（橢圓亦可）的切線可以定義為「與曲線只有一個交點的直線」。但對於其他函數，如y=cos(x)，顯然在x=0時的切線為直線y=1，而它與函數有無數個交點。

通過y=cos(x)和上文速度的例子，我們或許可以吸收一些經驗。是不是在一個比較小的範圍（一個區間包含切點）內使得這條直線與曲線只有一個交點才是切線呢？

我們仍舊通過簡單的例子來驗證。首先圓和橢圓都是滿足的。圖1也是符合這個定義的。圖2也是滿足的（注意這一點的切線是存在的）。

因此，我們給出如下定義：設有曲線C和C上兩點M，N。做割線MN。當點N隨著曲線C趨向於點M時，若割線MN趨向一個位置MT，則MT為曲線C在T處的切線。

那麼切線的傾斜角的正切，即斜率

$k=tan\alpha =\lim _{x_{1}\to x_{0}}{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$