高中數學（版聊式）/第1節 排列與組合

排列與組合

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本講的主題是研究從n個不盡相同的元素中,任取m個元素,有序或無序排放的方法.

註：本文中排列數的表示為P(permutation)與全國教材稍有不同.

閱讀之前，您需要了解：

1. 加法原理：完成一件事有n類辦法,第一類辦法有m₁種方法,第二類辦法有m₂種方法,...,第n類辦法有m_n種方法,那麼完成這件事共有m₁+m₂+...+m_n種方法.
   
2. 乘法原理：完成一件事有n個步驟,第一個步驟有m₁種方法,第二個步驟有m₂種方法,...,第n個步驟有m_n種方法,那麼完成這件事共有m₁*m₂*...*m_n種方法.
   
3. 排列數：從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素,有序排成一列的方法個數.
   
4. 排列數公式：P_n^m=n!/(n-m)!
   
5. 組合數：從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素的方法個數.
   
6. 組合數公式：C_n^m=n!/[m!(n-m)!]
   
7. 二項式定理：兩數之和整數次冪的展開形式，也可以推廣到任意實數次冪.
8. 常用性質
   1. 若$n,k\in Z^{+}$，則

      $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$

      $C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k}$

      $C_{n}^{k}={\frac {n}{k}}C_{n-1}^{k-1}$

      $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}=2^{n}$

      $C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-...+(-1)^{n}C_{n}^{n}=0$

   2. 對$n,k\in Z^{+},a\in R,a\neq 0$

      $C_{a}^{n}={\frac {\prod \limits _{k=1}^{n}(a-k+1)}{n!}}$

9. 定理：
   1. 二項式定理：若$n\in Z^{+}$，則$(x+y)^{n}=\sum \limits _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{n-k}y^{k}$
   2. 廣義二項式定理：若$a\neq 0,x\in (-1,1)$，則

      $(1+x)^{a}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }C_{a}^{k}x^{k}$

      推論1 $a\in Z^{-}$時

      $(1+x)^{a}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }C_{-a-1+k}^{-a-1}(-x)^{k}$

      $(1-x)^{a}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }C_{-a-1+k}^{-a-1}x^{k}$

      推論2 $a=-1$時

      ${\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+...$，

      ${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+...$